а)  Если было за­ду­ма­но 4 числа или более, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не менее 15 чисел. Если было за­ду­ма­но 2 числа или мень­ше, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не более 3 чисел. Зна­чит, было за­ду­ма­но 3 числа. Если бы было за­ду­ма­но 2 по­ло­жи­тель­ных числа, то на доске было бы вы­пи­са­но не менее трёх по­ло­жи­тель­ных чисел. Зна­чит, по­ло­жи­тель­ное число одно, и это число  — наи­боль­шее число в на­бо­ре, то есть 6. Наи­мень­шее число в на­бо­ре −11 яв­ля­ет­ся сум­мой двух от­ри­ца­тель­ных за­ду­ман­ных чисел. Из от­ри­ца­тель­ных вы­пи­сан­ных чисел толь­ко −7 и −4 дают в сумме −11. Зна­чит, были за­ду­ма­ны числа −7, −4 и 6.

б)  Рас­смот­рим раз­лич­ные за­ду­ман­ные числа, среди ко­то­рых нет нуля. Пусть для этих чисел в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно k нулей. Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2k + 1 нулей: k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел, k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел и за­ду­ман­но­го нуля, и за­ду­ман­ный нуль. Таким об­ра­зом, если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей.

Если на доске вы­пи­са­но ровно 4 нуля, то среди за­ду­ман­ных чисел нет нуля. Пусть за­ду­ма­но че­ты­ре или мень­ше не­ну­ле­вых числа. Нуль по­лу­ча­ет­ся тогда, когда сумма не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства по­ло­жи­тель­ных чисел равна по мо­ду­лю сумме не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства от­ри­ца­тель­ных чисел. Одно за­ду­ман­ное число даёт одну сумму; два раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают три раз­лич­ные суммы: три раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа дают семь сумм, среди ко­то­рых не более двух (за­ду­ман­ное число, наи­боль­шее по мо­ду­лю, и сумма двух дру­гих за­ду­ман­ных чисел) сов­па­да­ют. Зна­чит, среди сумм по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел сов­па­да­ют по мо­ду­лю не более трёх. Таким об­ра­зом, если было за­ду­ма­но не более четырёх раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более трёх нулей.

Если были за­ду­ма­ны числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске ока­жет­ся ровно че­ты­ре нуля. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел  — 5.

в)  Нет, не все­гда. На­при­мер, для за­ду­ман­ных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а)  −7, −4, 6; б)  5; в)  нет.

а)  Если было за­ду­ма­но 4 числа или более, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не менее 15 чисел. Если было за­ду­ма­но 2 числа или мень­ше, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не более 3 чисел. Зна­чит, было за­ду­ма­но 3 числа. Если бы было за­ду­ма­но 2 от­ри­ца­тель­ных числа, то на доске было бы вы­пи­са­но не менее трёх от­ри­ца­тель­ных чисел. Зна­чит, от­ри­ца­тель­ное число одно, и это число  — наи­мень­шее число в на­бо­ре, то есть −6. Наи­боль­шее число в на­бо­ре 11 яв­ля­ет­ся сум­мой двух по­ло­жи­тель­ных за­ду­ман­ных чисел. Из по­ло­жи­тель­ных вы­пи­сан­ных чисел толь­ко 4 и 7 дают в сумме 11. Зна­чит, были за­ду­ма­ны числа −6, 4 и 7.

б)  Рас­смот­рим раз­лич­ные за­ду­ман­ные числа, среди ко­то­рых нет нуля. Пусть для этих чисел в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно k нулей. Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2k + 1 нулей: k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел, k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел и за­ду­ман­но­го нуля, и за­ду­ман­ный нуль. Таким об­ра­зом, если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей.

Пусть за­ду­ма­но че­ты­ре или мень­ше не­ну­ле­вых числа. Нуль по­лу­ча­ет­ся тогда, когда сумма не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства по­ло­жи­тель­ных чисел равна по мо­ду­лю сумме не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства от­ри­ца­тель­ных чисел. Одно за­ду­ман­ное число даёт одну сумму; два раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают три раз­лич­ные суммы; три раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа дают семь сумм, среди ко­то­рых не более двух (за­ду­ман­ное число, наи­боль­шее по мо­ду­лю, и сумма двух дру­гих за­ду­ман­ных чисел) сов­па­да­ют. Зна­чит, среди сумм по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел со­вла­да­ют по мо­ду­лю не более трёх. Таким об­ра­зом, если было за­ду­ма­но не более четырёх раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более трёх нулей.

Ана­ло­гич­но, если было за­ду­ма­но не более трёх раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более од­но­го нуля. Зна­чит, если было за­ду­ма­но не более четырёх раз­лич­ных чисел, среди ко­то­рых есть нуль, то на доске ока­жет­ся не более трёх нулей.

Если были за­ду­ма­ны числа −2, −1, 0, 1, 2, то на доске ока­жет­ся ровно семь нулей. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел  — 5.

в)  Нет, не все­гда. На­при­мер, для за­ду­ман­ных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а) −6, 4, 7; б) 5; в) нет.

а)  Если было за­ду­ма­но 4 числа или более, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не менее 15 чисел. Если было за­ду­ма­но 2 числа или мень­ше, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не более 3 чисел. Зна­чит, было за­ду­ма­но 3 числа. Если бы было за­ду­ма­но 2 от­ри­ца­тель­ных числа, то на доске было бы вы­пи­са­но не менее трёх от­ри­ца­тель­ных чисел. Зна­чит, от­ри­ца­тель­ное число одно, и это число  — наи­мень­шее число в на­бо­ре, то есть −3. Наи­боль­шее число в на­бо­ре 9 яв­ля­ет­ся сум­мой двух по­ло­жи­тель­ных за­ду­ман­ных чисел. Из по­ло­жи­тель­ных вы­пи­сан­ных чисел толь­ко 2 и 7 дают в сумме 9. Зна­чит, были за­ду­ма­ны числа 7, 2 и −3.

б)  Рас­смот­рим раз­лич­ные за­ду­ман­ные числа, среди ко­то­рых нет нуля. Пусть для этих чисел в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно к нулей. Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2k + 1 нулей: k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел, k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел и за­ду­ман­но­го нуля, и за­ду­ман­ный нуль. Таким об­ра­зом, если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей.

По­сколь­ку на доске вы­пи­са­но ровно 6 нулей, среди за­ду­ман­ных чисел нет нуля. Пусть за­ду­ма­но пять или мень­ше (не­ну­ле­вых) чисел. Среди них есть по­ло­жи­тель­ные и от­ри­ца­тель­ные. Нуль по­лу­ча­ет­ся тогда, когда сумма не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства по­ло­жи­тель­ных чисел равна по мо­ду­лю сумме не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства от­ри­ца­тель­ных чисел. По­ду­ма­ем, сколь­ко может быть оди­на­ко­вых среди все­воз­мож­ных сумм за­ду­ман­ных чисел од­но­го знака. Одно за­ду­ман­ное число даёт одну сумму; два раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают три раз­лич­ные суммы; три раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают семь сумм, среди ко­то­рых не более двух (за­ду­ман­ное число, наи­боль­шее по мо­ду­лю, и сумма двух дру­гих за­ду­ман­ных чисел) сов­па­да­ют; че­ты­ре раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают 15 сумм, среди ко­то­рых не может быть трёх оди­на­ко­вых. Зна­чит, среди сумм по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел сов­па­да­ют по мо­ду­лю не более четырёх. Таким об­ра­зом, если было за­ду­ма­но не более пяти раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более четырёх нулей. Если были за­ду­ма­ны числа −5 ; −2; −1; 1; 2; 3, то на доске ока­жет­ся ровно шесть нулей. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел  — 6.

в)  Нет, не все­гда. На­при­мер, для за­ду­ман­ных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1,2,3.

Ответ: а) −3, 2, 7; б) 6; в) нет.