Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто не­ко­то­рых из чисел (воз­мож­но, од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске уве­ли­чи­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 34?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.

а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми про­ве­ли эти дей­ствия, то их сред­нее было равно 6, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 10.

б)  Пусть x ко­ли­че­ство из­на­чаль­но на­пи­сан­ных еди­ниц, ко­то­рые пре­вра­тят­ся в нули, а y  — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме бу­ду­щих нулей, равна и их штук.

После опи­сан­ных дей­ствий будет чисел с общей сум­мой Зна­чит,

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но.

в)  Обо­зна­чая как в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что нужно мак­си­ми­зи­ро­вать зна­че­ние вы­ра­же­ния Оче­вид­но, сле­ду­ет взять и мак­си­ми­зи­ро­вать то есть сле­ду­ет мак­си­ми­зи­ро­вать x.

За­ме­тим од­на­ко, что сумма из­на­чаль­ных чисел не пре­вос­хо­дит от­ку­да Тогда тре­бу­е­мое вы­ра­же­ние будет равно Это воз­мож­но, на­при­мер, для на­бо­ра из шести еди­ниц, числа 14 и три­на­дца­ти чисел по 40, из ко­то­рых умень­ша­ют все еди­ни­цы и толь­ко их, по­лу­чая

Ответ:а)  да; б)  нет; в)