На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −12.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
a) Напомним, что среднее арифметическое нескольких чисел есть сумма этих чисел, делённая на их количество. Пусть на доске написано n чисел. Тогда их сумма: S = −7n. Обозначим: p — количество положительных чисел, m — количество отрицательных чисел, z — количество нулей. Таким образом, n = p + m + z.
Пусть S+ и S− — суммы положительных и отрицательных чисел соответственно. Имеем:
S+ = 6p, S− = −12m, и так как S = S+ + S−, то: −7n = 6p − 12m. Правая часть данного равенства делится на 6. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, число n делится на 6. Между числами 42 и 54 есть только одно такое число: n = 48.
б) Из равенства −7 · 48 = 6p − 12m получаем после сокращения на 6: 2m − p = 56. Кроме того: p + m + z = 48. Сложим полученные равенства: 3m + z = 104. Так как 104 при делении на 3 дает остаток 2, число z также даёт остаток 2: z = 3k + 2. Отсюда: 3m + 3k + 2 = 104, или m = 34 − k.
Соответственно, p = 2m − 56 = 2(34 − k) − 56 = 12 − 2k.
Составляем разность: p − m = (12 − 2k) − (34 − k) = −22 − k < 0, так что p < m — отрицательных чисел написано больше.
в) Из равенства p = 12 − 2k видим, что 
Приведём пример с p = 12 (тогда k = 0, z = 2, m = 34). Пусть написано 12 чисел 6, 34 числа −12 и два нуля. Этот набор удовлетворяет условию задачи: среднее арифметическое положительных чисел равно, очевидно, 6; среднее арифметическое отрицательных чисел равно −12, а среднее арифметическое всех чисел:
Следовательно, наибольшее возможное количество положительных чисел равно 12