а)  Пусть пер­во­на­чаль­но на доске было 14 чисел, рав­ных 7, и одно число, рав­ное 1. Их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно

Пусть число, рав­ное 1, умень­ши­лось на 1 (после чего было стёрто с доски), а осталь­ные числа не из­ме­ни­лись. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно

б)  Пусть с доски было стёрто k чисел, сумма осталь­ных чисел до умень­ше­ния была равна S, а после умень­ше­ния стала равна S – n, где n  — ко­ли­че­ство чисел, ко­то­рые были умень­ше­ны на 1, но не были стёрты с доски. По усло­вию то есть Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно

тогда по­лу­чим

Из этого ра­вен­ства на­хо­дим Число n лежит в пре­де­лах от 0 до 15, по­это­му 105 + n лежит в пре­де­лах от 105 до 120. В этом про­ме­жут­ке нет целых чисел, де­ля­щих­ся на 31.

в)  Пусть с доски было стёрто k чисел, сумма осталь­ных чисел до умень­ше­ния была равна S, а после умень­ше­ния стала равна По усло­вию то есть Не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние числа

Имеем

Число A будет наи­боль­шим, если n  =  0 и число k будет при­ни­мать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние. Оце­ним это зна­че­ние. Так как каж­дое из пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных на доске чисел было не более 30 и на доске оста­лось 15 – k чисел, для суммы S вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

от­ку­да сле­ду­ет, что

Зна­чит,

При­ведём при­мер, по­ка­зы­ва­ю­щий, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел дей­стви­тель­но могло стать рав­ным Пусть пер­во­на­чаль­но на доске было на­пи­са­но 2 еди­ни­цы, 12 чисел, рав­ных 30, и одно число, рав­ное 13. Тогда их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское было равно

Пусть 2 числа, рав­ные еди­ни­це, умень­ши­лись на 1 (после чего были стёрты с доски), а осталь­ные числа не из­ме­ни­лись. Тогда сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно

Ответ: а) да; б) нет; в)