Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду.

Зна­чит,

Ответ: 64.

Ре­ше­ние. Пусть цен­траль­ный и впи­сан­ный угол опи­ра­ют­ся на дугу 2α гра­ду­сов. Цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, а впи­сан­ный равен её по­ло­ви­не, по­это­му их ве­ли­чи­ны равны со­от­вет­ствен­но 2α и α гра­ду­сов. Тогда 2α − α  =  15°, от­ку­да 2α  =  30°.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB. Он рав­но­сто­рон­ний, так как AO  =  OB  =  AB  =  R. По­это­му угол AOB  =  60. Впи­сан­ный угол ACB равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. Таким об­ра­зом, он равен 30°.

Ответ: 30.

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Ти­щен­ко.

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC, где ∠ACB  — ис­ко­мый угол, а AB  — хорда, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся:

от­ку­да ис­ко­мый угол равен 30°.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол до­пол­ня­ет по­ло­ви­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду, до 180°. Тре­уголь­ник AOB яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним, так как AO  =  OB  =  AB  =  R, по­это­му угол AOB  =  60°. Тогда

Ответ: 150.

Ре­ше­ние. Пусть впи­сан­ный угол равен x, тогда цен­траль­ный угол равен По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу окруж­но­сти, зна­чит,

Ответ: 104.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу окруж­но­сти, зна­чит,

Ответ: 35.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Дуга  BAD стя­ги­ва­ет­ся диа­мет­ром  BD, а по­то­му равна 180°. Цен­траль­ный угол  AOD равен дуге  AD, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, а по­то­му мень­шая дуга  AD равна 110°. Тогда мень­шая дуга  AB равна 180° − 110°  =  70°. Впи­сан­ный угол  ACB равен по­ло­ви­не дуги  AB, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, по­это­му он равен  35°.

Ре­ше­ние. Угол между двумя се­ку­щи­ми равен по­лу­раз­но­сти вы­се­ка­е­мых ими дуг:

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Пусть ис­ко­мый угол равен x. Тогда дуга DE, равна 2x. Угол между се­ку­щи­ми CB и CA равен по­лу­раз­но­сти дуг AB и DE:

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу, равны, по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 98.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти, равны, по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 91.

Ре­ше­ние. Пусть n  — число сто­рон пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка. Сумма углов в пра­виль­ном мно­го­уголь­ни­ке вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле 180°(n − 2), от­ку­да по­лу­ча­ем урав­не­ние:

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти, равны, по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 56.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр окруж­но­сти, яв­ля­ет­ся пря­мым, то есть угол MPN равен 90°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MNP угол PMN равен 90° − 36°  =  54°. Впи­сан­ные углы PMN и PKN опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Таким об­ра­зом, угол PKN равен 54°.

Ответ: 54°.