На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.
Решение. Пусть точки P и A лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому
Пусть DH — высота треугольника ADP. Из прямоугольного треугольника ADH находим, что
Пусть теперь точки P и A лежат но разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому 
Из прямоугольного треугольника ADH находим, что
Ответ: 
или 
Примечание.
На наш взгляд, в ответе можно было оставить выражения 
и 
Тем не менее, на примере вычисления значения 
укажем два способа нахождения этих величин:
или, используя формулу половинного угла:
Заметим, кстати, что одно из возможных доказательств равенства полученных выражения сводится к выделению полного квадрата из-под знака корня:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или 
поэтому точка M лежит на стороне DC, а для точки T возможны только два случая: точка T лежит на продолжении стороны AD за точку A или на продолжении стороны AD за точку D.
Отрезок 
поэтому 
Значит, 
Кроме того, 
Следовательно, 
По-прежнему 
Следовательно, 
Точка E на прямой AB выбрана так, что ∠AED = ∠DEC. Найдите AE.
Следовательно, треугольник DEC равнобедренный, и 
Получаем, что треугольник EBC — прямоугольный с гипотенузой 
и катетом 
По теореме Пифагора 
Точка E может лежать как по одну, так и по другую сторону от точки 
на рисунке), то 
на рисунке), то 
Изобразим две ситуации: когда угол 
острый и когда 
— тупой. 
Отрезок HD равен средней линии. Из прямоугольного треугольника BHD найдём высоту: 
Последнее равенство верно, поскольку вписанный угол BDA в два раза меньше центрального угла 
Воспользуемся формулой тангенса половинного угла: 
то 
и 
то 
и 
Если 
то 
и 
Значит, 
Тогда по свойству биссектрисы: 
и 
откуда 
Тогда 
Откуда 
(рис. 1). Положим 
Треугольник AOD подобен треугольнику BOC с коэффициентом 
а треугольник CMB подобен треугольнику AMP с коэффициентом 
поэтому
Аналогично 
значит, треугольники MON и AOD подобны.
то
(рис. 2). Аналогично предыдущему получим, что 
и 
Следовательно,
или 
Значит, 
Кроме того, 
По-прежнему 
Следовательно, 
Если же точка 
(рис. 1). Положим 
Треугольник COB подобен треугольнику AOD с коэффициентом 
а треугольник CMB подобен треугольнику AMP с коэффициентом 
поэтому
Аналогично 
то
(рис. 2). Аналогично предыдущему получим, что 
и 
Следовательно,
или 
Тогда 
Найдём площади треугольников 
и 
углы BNC и PND равны как вертикальные, углы NBC и NDP равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD, следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
значит, 
Аналогично, 
Найдём площади треугольников 
и 
Треугольники BOC и AOD подобны, поэтому их площади относятся как квадрат коэффициента подобия: 
и 
Площади треугольников BMC и MPC относятся как длины отрезков MP и BM, откуда 
и 
Аналогично, 
и 
или 
а значит, 
получаем
где 
Тогда 
где 
Так как 
то точка M лежит между точками B и N возможны два случая.
следовательно, 
откуда, учитывая, что 
получаем 
откуда учитывая, что 
или 
Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.
Из прямоугольного треугольника AKN находим, что 
Тогда 
а так как 
то 
Тогда 
Положим 
Из прямоугольного треугольника находим, что 
Тогда 
а так как 
то
Тогда 
Следовательно, 
(рис. 1). Четырехугольники ABCP и BCDP — параллелограммы, поэтому Mи N — середины BPи CP, значит, CM и BN — медианы треугольника 
Пусть h — высота трапеции. Положим 
Тогда
так как O — точка пересечения медиан треугольника BPC, поэтому 
значит, треугольник MON подобен треугольнику AOD с коэффициентом 
Заметим, что поскольку треугольники AOD и BOC подобны с коэффициентом 2, высота треугольника AOD вдвое больше высоты треугольника BOC и составляет две трети высоты трапеции. Имеем: 
(рис. 2) Пусть h — высота трапеции. Положим 
Тогда, как и в первом случае 
а треугольник AMP – треугольнику CMB с коэффициентом 
Тогда
Аналогично, 
Следовательно,
или 
Из подобия треугольников находим:
В этом случае 
и 
Тогда 
и B — точки, в которых прямая, проходящая через точку M, пересекает стороны соответственно OP и OQ данного прямого угла. Обозначим 
Тогда 
или 
Следовательно,
Далее находим:
или 
Вписанный угол ABC опирается на диаметр, поэтому он равен 90°. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный.
Тогда
Найдем высоту трапеции: 
Следовательно, 
таким образом, 
а 
и 
Следовательно, треугольник CMF подобен треугольнику CAE cкоэффициентом подобия 
четырехугольник BCGF вписан в окружность. Тогда 
следовательно, 
По условию получаем, что 
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
то есть 
Из свойства биссектрисы следует, что 
откуда 
где BH высота треугольника ABC. 
то есть 
значит, 
Отсюда 
Тогда и 
Осталось заметить, что 
Что и требовалось доказать.
Тогда 
Тогда 
Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая: 
откуда 
что невозможно. Получаем противоречие, значит, треугольник ABC тупоугольный.
откуда BD = 2, поэтому угол ABC = 60°. Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая: 
