Биссектрисы углов С и D четырехугольника ABCD пересекаются в точке К. Диагональ BD разбивает отрезок КС в отношении 2 : 1, считая от вершины С. При этом площадь треугольника ACD в два раза больше площади треугольника AKD.
а) Докажите, что угол CKD прямой.
б) Найдите ВК, если ВС = 6.
а) Пусть CK пересекает DB в точке P и пересекает AD в точке M. Пусть высоты треугольников DCA и DKA, который проведены к AD равны h1 и h2 соответственно. Тогда
следовательно,
Таким образом, СK = KM. Тогда биссектриса DK является медианой, и треугольник CDM — равнобедренный. Следовательно, DK и CM перпендикулярны.
б) Треугольники CBP И MDP подобны, тогда
Кроме того, из пункта а) получаем, что CD = DM, отсюда 
Пусть N — середина CD, тогда треугольники CNK и CBK равны по двум сторонам и углу и, значит, KN = KB. Но KN является медианой, проведенной к гипотенузе CD прямоугольного треугольника CKD, следовательно,
Таким образом, BK = 6.
Ответ: б) 6.