Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 539882

Биссектриса острого угла A трапеции ABCD пересекает боковую сторону CD в точке T, а продолжение основания BC трапеции в точке K так, что ABKD — параллелограмм и TD : TC = 4 : 1.

а) Докажите, что прямые AK и BD перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ее сторона AB = 8 и \angle B = 120 градусов.

Спрятать решение

Решение.

а) В параллелограмме ABKD диагональ AK является биссектрисой, следовательно, ABKD — ромб. Таким образом, AK перпендикулярна BD по свойству диагоналей ромба.

б) Треугольники TCK и TDA подобны по двум углам, откуда  дробь: числитель: CK, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: CT, знаменатель: DT конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . Тогда

CK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AB=2.

Далее, BC=6, \angle BAD=180 градусов минус 120 градусов=60 градусов. Найдем высоту трапеции: \ левая квадратная скобка AB умножить на синус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =8 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =4 корень из 3.\ правая квадратная скобка Следовательно,

S_ABCD= дробь: числитель: BC плюс AD, знаменатель: 2 конец дроби умножить на h= дробь: числитель: 6 плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из 3=28 корень из 3.

Ответ: б) 28 корень из 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 308. (Часть C)