В трапеции ABCD с нижним основанием AD площади треугольников ABD и BDC равны соответственно 12 и 4, а точка G является серединой BD. Ниже прямой AD выбрана точка Е, АЕ = BD, а на отрезке ЕС выбрана точка F такая, что CF в 4 раза короче СЕ.
а) Докажите, что угол BFG равен 90°.
б) Найдите длину отрезка BD, если дополнительно известно, что 
а 
а) Пусть M — середина BG, тогда BM : MD = 1 : 3 = BC : AD. Следовательно, треугольник BMC подобен треугольнику DMA, тогда угол BMC равен углу DMA. Значит, M — точка пересечения диагоналей AC и BD.
Заметим, что 
и 
Следовательно, треугольник CMF подобен треугольнику CAE cкоэффициентом подобия 
Тогда
Таким образом, треугольник BFG прямоугольный и угол BFG прямой.
б) Поскольку 
четырехугольник BCGF вписан в окружность. Тогда 
следовательно,
Тем самым 
Ответ: 8.