Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 547546

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1.

а) Докажите, что ABCD — параллелограмм или трапеция.

б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, а AD = 3.

Спрятать решение

Решение.

а) Найдем площадь треугольника ABD:

S_ABD=S_AEB плюс S_AED=S_CDE плюс S_AED=S_ACD.

Тогда высоты треугольников ABD и ACD, проведенные к AD, равны. Значит, BC и AD параллельны, тогда ABCD является параллелограммом или трапецией.

б) Пусть площадь треугольника BEC равна x, тогда

AE:EC=S_ABE:S_BEC=1:x,

следовательно,

S_AED:S_DEC=AE:EC=1:x.

Тогда S_AED= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби . По условию получаем, что

x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 1 плюс 1 меньше или равно 4 равносильно x в квадрате минус 2x плюс 1 меньше или равно 0 равносильно x=1.

Таким образом, площади треугольников BEC и AED равны. Из пункта а) получаем, что AB и CD параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм и BC = AD = 3.

 

Ответ: б) 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 317. (Часть C)
Спрятать решение · ·
Лев Бреслав 23.06.2020 10:50

Надо бы написать замечание о том, что терминология задачи расходится с терминологией многих учебников, в которых параллелограмм не является частным случаем трапеции. Например, в учебнике Атанасяна: «Трапеция — четырехугольник, в котором две стороны параллельны, а две другие нет».

Служба поддержки

Подправили формулировку, спасибо.