Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1.
а) Докажите, что ABCD — параллелограмм или трапеция.
б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, а AD = 3.
а) Найдем площадь треугольника ABD:
Тогда высоты треугольников ABD и ACD, проведенные к AD, равны. Значит, BC и AD параллельны, тогда ABCD является параллелограммом или трапецией.
б) Пусть площадь треугольника BEC равна x, тогда
следовательно,
Тогда 
По условию получаем, что
Таким образом, площади треугольников BEC и AED равны. Из пункта а) получаем, что AB и CD параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм и BC = AD = 3.
Ответ: б) 3.
Надо бы написать замечание о том, что терминология задачи расходится с терминологией многих учебников, в которых параллелограмм не является частным случаем трапеции. Например, в учебнике Атанасяна: «Трапеция — четырехугольник, в котором две стороны параллельны, а две другие нет».
Подправили формулировку, спасибо.