Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 511477
i

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 17, AC = 10 и BC = 9. На пря­мой BC взята точка M, причём AM  =  10. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMB.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC, AH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка. Тогда

p= дробь: чис­ли­тель: 9 плюс 10 плюс 17, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =18.

По фор­му­ле Ге­ро­на

S_\triangle ABC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: p левая круг­лая скоб­ка p минус AB пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус AC пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус BC пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 18 левая круг­лая скоб­ка 18 минус 17 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 18 минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 18 минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 18 умно­жить на 1 умно­жить на 8 умно­жить на 9 конец ар­гу­мен­та =36.

Тогда AH= дробь: чис­ли­тель: 2S_\triangle ABC, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 36, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби =8.

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AHM и AHB на­хо­дим, что

MH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AM в квад­ра­те минус AH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 в квад­ра­те минус 8 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =6,

BH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус AH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 в квад­ра­те минус 8 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =15.

Таким об­ра­зом, либо точка M лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны ВС, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, либо точка M сов­па­да­ет с точ­кой C.

Если точка M сов­па­да­ет с точ­кой C, то S_\triangle AMB=S_\triangle ABC=36.

 

Если же точка M лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны ВС, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, то

BM=BH плюс MH=15 плюс 6=21.

Сле­до­ва­тель­но, S_\triangle AMB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BM умно­жить на AH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 21 умно­жить на 8=84.

 

Ответ: 36 или 84.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ 3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за гео­мет­ри­че­ской ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 507701: 511477 507697 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026