Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В треугольнике ABC на сторонах AB и BC заданы соответственно точки M и N такие, что AM = MB, BN : NC = 1 : 2. Отрезки CM и AN пересекаются в точке O.
а) Докажите, что расстояние от точки O до прямой AC равно 
где BH высота треугольника ABC.
б) Найдите расстояние от точки O до прямой AC, если ∠BAC = 30°, ∠BCA = 45°, AC = 8.
Решение.
Спрятать критерииа) Пусть прямые OD и NE — перпендикуляры, опущенные на прямую AC из точек O и N. Применим теорему Менелая к треугольнику ABN и секущей CM: 
то есть 
значит, 
Отсюда 
Тогда и 
Осталось заметить, что
Значит, 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть высота 
Тогда
Значит, искомое расстояние равно
Ответ: б) 