Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 507387
i

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если её сред­няя линия равна 3 и синус \angle AOB = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть \angle альфа =\angle AOB. Изоб­ра­зим две си­ту­а­ции: когда угол альфа , ост­рый и когда альфа   — тупой.

 

Про­ведём вы­со­ту BH и диа­го­наль BD. От­ре­зок HD равен сред­ней линии. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BHD найдём вы­со­ту: BH=HD умно­жить на тан­генс \angle BDA=3 тан­генс дробь: чис­ли­тель: \angle альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­след­нее ра­вен­ство верно, по­сколь­ку впи­сан­ный угол BDA в два раза мень­ше цен­траль­но­го угла AOB. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой тан­ген­са по­ло­вин­но­го угла: BH=3 дробь: чис­ли­тель: синус альфа , зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус альфа конец дроби .

Если \angle альфа мень­ше 90 гра­ду­сов, то ко­си­нус \angle альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , и BH=3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби =1.

Если \angle альфа боль­ше 90 гра­ду­сов, то ко­си­нус \angle альфа = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , и BH=3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби =9.

 

Ответ: 1 или 9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ 3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за гео­мет­ри­че­ской ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Методы алгебры: Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
Анна Воинова 03.06.2016 16:14

Здесь не рас­смат­ри­ва­ет­ся слу­чай, если центр окруж­но­сти на­хо­дит­ся не на тра­пе­ции.

Константин Лавров

Ви­ди­мо вы име­е­те ввиду ВНЕ тра­пе­ции??? Это слу­чай остро­го угла. Кар­тин­ка для этого слу­чая не точ­ная.

Константин Буданов 26.11.2016 13:45

Здрав­ствуй­те! В усло­вии за­да­чи не ука­за­но, что тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная. А в ходе ре­ше­ния идёт ссыл­ка на усло­вие, ко­то­рое вы­пол­ня­ет­ся толь­ко для рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции (если про­ве­сти вы­со­ту в тра­пе­ции, то боль­ший от­ре­зок на боль­шем ос­но­ва­нии равен сред­ней линии)

Кирилл Колокольцев

Толь­ко рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию можно впи­сать в окруж­ность.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026