PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее количество флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 60 °C до температуры 90 °C.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
Фабрика выпускает сумки. В среднем 3 сумки из 25 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Найдите корень уравнения 
В прямоугольном треугольнике ABC угол С равен 
Найдите АС.
Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите значение выражения 
Трактор тащит сани с силой 
кН,
к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной 
м
При каком максимальном угле 
(в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K делит боковое ребро AA1 в отношении AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA1 = 6.
Решите неравенство 
Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM и MK в точках A, B и C соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение BL : BM, если известно, что KC : CM = 3 : 2 и 
Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Вася может купить ее в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придется
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции 
меньше 2.
После того, как учитель доказал классу новую теорему, выяснилось, что большая часть класса не поняла доказательство (быть может, все — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик вдруг понял доказательство (и только он). Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.
а) Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса не понимает доказательство?
б) Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, понявших доказательство, выражался целым числом, а после перемены ― нецелым числом?
в) Какое наибольшее целое значение может принять процент учеников класса, так и не понявших доказательство этой теоремы?
получаем:
В этом случае имеем:
:
Проверка показывает, что число −1 ему удовлетворяет, а число 
— нет.
и прямой 
задаётся системой уравнений:
:
на интервале 
при заданных значениях силы 
меняет знак с минуса на плюс в точке 
поэтому в этой точке достигается наименьшее значение функции, равное 4.
условию 
удовлетворяет только одно решение уравнения — число 
б) 
C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника BDM и, следовательно, 
откуда и следует доказываемое утверждение.
Но KN || AC, значит, и 
Следовательно, KN ⊥ BM, поскольку 
и площадь сечения S равна 
Имеем:
откуда получаем 
На этом множестве 
и данное неравенство равносильно неравенству
где 
получаем неравенство 
Заметим, что при 
функция 
возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и 
Таким образом, множеством решений этого неравенства является луч 
разбивают действительную ось на промежутки, в каждом из которых графиком данной функции является часть некоторой параболы. Заметим, что при 
значения данной функции неограниченно возрастают. Следовательно, свое наименьшее значение данная функция принимает в одной из точек (или в нескольких этих точках) 
где 
— абсциссы вершин тех парабол, ветви которых направлены вверх.
и 
или 
и 
Абсциссы их вершин соответственно 
меньше 2 тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из неравенств: 
поэтому получаем совокупность неравенств:
получаем 
но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют.
и 
Чтобы это число было как можно большим, требуется максимизировать дробь 
при условии, что 
равно 96. Результат 96 достигается, если 
Если 
то очевидно, что 
необходимо взять k, кратное 13, что возможно только при k = 13, а 
