Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 12, а ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 1. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат век­то­ра

Най­ди­те объем приз­мы, в ос­но­ва­ни­ях ко­то­рой лежат пра­виль­ные ше­сти­уголь­ни­ки со сто­ро­на­ми 2, а бо­ко­вые ребра равны и на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°.

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-⁠либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии.

Сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют 10 раз. Во сколь­ко раз ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­па­дет ровно 5 орлов» боль­ше ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «вы­па­дет ровно 4 орла»?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Функ­ция опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке [–6; 5]. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных ин­тер­нет-⁠из­да­ний на ос­но­ве оце­нок ин­фор­ма­тив­но­сти In, опе­ра­тив­но­сти Op, объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций Tr, а также ка­че­ства сайта Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся чи­та­те­ля­ми по 5-⁠балль­ной шкале це­лы­ми чис­ла­ми от 1 до 5.

Ана­ли­ти­ки, со­став­ля­ю­щие фор­му­лу рей­тин­га, счи­та­ют, что объ­ек­тив­ность це­нит­ся втрое, а ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций  — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность и ка­че­ство сайта. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид

Каким долж­но быть число A, чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все оцен­ки наи­боль­шие, по­лу­чи­ло бы рей­тинг 1?

Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 112 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 6 часов мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 11 км/⁠ч. Ответ дайте в км/⁠ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки двух ли­ней­ных функ­ций. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁P и QB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку P и пер­пен­ди­ку­ляр­ной пря­мой BQ, если ребро куба равно 10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Угол BAC тре­уголь­ни­ка ABC равен Сто­ро­на BC яв­ля­ет­ся хор­дой такой окруж­но­сти с цен­тром O и ра­ди­у­сом R, ко­то­рая про­хо­дит через центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка ABOC можно опи­сать окруж­ность.

б)  Из­вест­но, что в четырёхуголь­ник ABOC можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус r этой окруж­но­сти, если R  =  6,

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

Есть синие и крас­ные кар­точ­ки. Всего кар­то­чек 50 штук. На каж­дой кар­точ­ке на­пи­са­но на­ту­раль­ное число. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 16. Все числа на синих кар­точ­ках раз­ные. При этом любое число на синей кар­точ­ке боль­ше, чем любое на крас­ной. Числа на синих уве­ли­чи­ли в 2 раза, после чего сред­нее ариф­ме­ти­че­ское стало равно 31,2.

а)  Может ли быть 10 синих кар­то­чек?

б)  Может ли быть 10 крас­ных кар­то­чек?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство синих кар­то­чек может быть?