PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Найдите сумму координат вектора
Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны
и наклонены к плоскости основания под
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 спортсменов из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.
Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
Функция 
определена и непрерывна 
В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта 
Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.
Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид
Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.
Решите неравенство: 
Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 
от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Угол BAC треугольника ABC равен 
Сторона BC является хордой такой окружности с центром O и радиусом R, которая проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABOC можно описать окружность.
б) Известно, что в четырёхугольник ABOC можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если R = 6, 
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
имеет координаты 
вектор 
имеет координаты 
Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат. Тогда вектор 
имеет координаты 
их сумма 
где S — площадь основания, а L — длина ребра, составляющего с основанием 
бадминтонистами, из которых 
из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, 
Вероятность того, что выпадет ровно 
Тогда отношение этих вероятностей 
:
соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть 
и 
и 
и монотонна на интервале 
то функция монотонна на всем отрезке 
и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке 
км/ч,
км/ч.
Следовательно, уравнение прямой имеет вид 
Следовательно, уравнение прямой имеет вид 
Получим число 
б) 
параллельный 
Пусть M — точка пересечения отрезков 
и 
Треугольник BMR прямоугольный с прямым углом при вершине M. Это следует из равенства треугольников 
и 
Значит, прямые QB и 
Поэтому прямая QB перпендикулярна плоскости 
и, следовательно, прямая QB перпендикулярна прямой 
Его площадь равна 
получаем:
К концу первого года сумма долга фермера в банк с учетом начисленных процентов составила 
у. е.
у. е.
у. е. По условию задачи эта сумма равна 
у. е. 
на множестве положительных чисел.
и 
Получаем, что 
Значит, 
и 
Следовательно, около четырёхугольника ABOC можно описать окружность, что и требовалось доказать.
откуда AC = AB. Таким образом, треугольник ABC ― правильный треугольник со стороной 
Далее находим:
окончательно получаем 
при подстановке в первое уравнение системы 
получаются квадратные уравнения. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 различных решения тогда и только тогда, когда каждое из этих уравнений имеет ровно два корня и пара чисел (1; 1) не является решением исходной системы.
получаем:
получаем 
или 
то есть a = −3.
и/или 
и при этом рассмотрен случай 
и 
возможно, c включением точек 
или два промежутка 
возможно, с включением граничных точек.
— сумма на синих карточках, 
— сумма на красных карточках. Тогда 
что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 5. Тогда сумма на 40 синих карточках не меньше, чем 
Противоречие.
что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 4. Тогда сумма на синих карточках не меньше, чем 
Противоречие.