СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519517

Угол BAC тре­уголь­ни­ка ABC равен Сто­ро­на BC яв­ля­ет­ся хор­дой окруж­но­сти с цен­тром O и ра­ди­у­сом R, про­хо­дя­щей через центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

а) До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка ABOC можно опи­сать окруж­ность.

б) Из­вест­но, что в четырёхуголь­ник ABOC можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус r этой окруж­но­сти,

если R = 6,

Ре­ше­ние.

а) Пусть точка Q ― центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC (см.ри­су­нок).

Тогда и .

По­лу­ча­ем, что Углы BCQ и CBQ впи­са­ны в окруж­ность O(R), по­это­му Зна­чит, и . Сле­до­ва­тель­но, около четырёхуголь­ни­ка ABOC можно опи­сать окруж­ность, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

б) В четырёхуголь­ник ABOC можно впи­сать окруж­ность, сле­до­ва­тель­но, , от­ку­да AC = AB. Таким об­ра­зом, ― пра­виль­ный тре­уголь­ник со сто­ро­ной .

Далее имеем:

 

Учи­ты­вая, что , окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 519517: 519543 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и треугольники