В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH − вы­со­та, Най­ди­те

Сто­ро­ны пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равны Най­ди­те длину век­то­ра

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен а вы­со­та равна 2.

Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Физик» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Физик» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

В го­ро­де 48 % взрос­ло­го на­се­ле­ния  — муж­чи­ны. Пен­си­о­не­ры со­став­ля­ют 12,6 % взрос­ло­го на­се­ле­ния, причём доля пен­си­о­не­ров среди жен­щин равна 15 %. Для со­цио­ло­ги­че­ско­го опро­са вы­бран слу­чай­ным об­ра­зом муж­чи­на, про­жи­ва­ю­щий в этом го­ро­де. Най­ди­те ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­бран­ный муж­чи­на яв­ля­ет­ся пен­си­о­не­ром».

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных ин­тер­нет-из­да­ний на ос­но­ве оце­нок ин­фор­ма­тив­но­сти In, опе­ра­тив­но­сти Op, объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций Tr, а также ка­че­ства сайта Q. Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель  — целое число от –2 до 2.

Со­ста­ви­те­ли рей­тин­га счи­та­ют, что объ­ек­тив­ность це­нит­ся втрое, а ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций  — впя­те­ро до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность и ка­че­ство сайта. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид

Если по всем че­ты­рем по­ка­за­те­лям какое-то из­да­ние по­лу­чи­ло одну и ту же оцен­ку, то рей­тинг дол­жен сов­па­дать с этой оцен­кой. Най­ди­те число A, при ко­то­ром это усло­вие будет вы­пол­нять­ся.

Пли­точ­ник пла­ни­ру­ет уло­жить 175 м² плит­ки. Если он будет укла­ды­вать на 10 м² в день боль­ше, чем за­пла­ни­ро­вал, то за­кон­чит ра­бо­ту на 2 дня рань­ше. Сколь­ко квад­рат­ных мет­ров плит­ки в день пла­ни­ру­ет укла­ды­вать пли­точ­ник?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те a.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны длины рёбер: AB  =  4, BC  =  3, AA₁  =  2. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер A₁B₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро B₁C₁ в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что B₁K : KC₁  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью APQ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Антон яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де,  — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Квад­рат ABCD впи­сан в окруж­ность. Хорда CE пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль BD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние CK и KE, если

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции не мень­ше 1.

а)  Пред­ставь­те число в виде суммы не­сколь­ких дро­бей, все чис­ли­те­ли ко­то­рых  — еди­ни­ца, а зна­ме­на­те­ли  — по­пар­но раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа.

б)  Пред­ставь­те число в виде суммы не­сколь­ких дро­бей, все чис­ли­те­ли ко­то­рых  — еди­ни­ца, а зна­ме­на­те­ли  — по­пар­но раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа.

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные пары на­ту­раль­ных чисел m и n, для ко­то­рых и