Ре­ше­ние. Углы A и HCB равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми.

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. До­стра­и­ва­ем тре­уголь­ник до ромба. По­сколь­ку не­об­хо­ди­мо найти длину боль­шей диа­го­на­ли ромба, рав­ную удво­ен­ной длине ме­ди­а­ны рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC. Таким об­ра­зом, имеем:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка a вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус r впи­сан­ной в него окруж­но­сти фор­му­лой Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Фи­зи­ком», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций три  — 110, 101, 011, а всего ком­би­на­ций 2³  =  8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Таким об­ра­зом, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,375.

Ре­ше­ние. Жен­щин среди взрос­ло­го на­се­ле­ния 100 % − 48 %  =  52 %, среди взрос­ло­го на­се­ле­ния 52 % · 0,15  =  7,8 % пен­си­о­не­рок. Всего в го­ро­де 12,6 % пен­си­о­не­ров, по­это­му муж­чин-пен­си­о­не­ров 12,6 % − 7,8 %  =  4,8 % от взрос­ло­го на­се­ле­ния го­ро­да. По­сколь­ку всего среди взрос­ло­го на­се­ле­ния го­ро­да 48 % муж­чин и среди них 4,8 % пен­си­о­не­ров, пен­си­о­не­ром яв­ля­ет­ся каж­дый де­ся­тый: Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный муж­чи­на ока­жет­ся пен­си­о­не­ром, равна 0,1.

Ответ: 0,1.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть х  — доля муж­чин-⁠пен­си­о­не­ров среди всех муж­чин. По­стро­им де­ре­во ве­ро­ят­но­стей (см. рис.).

Пен­си­о­не­ры со­став­ля­ют 0,126 взрос­ло­го на­се­ле­ния го­ро­да, от­ку­да по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный муж­чи­на ока­жет­ся пен­си­о­не­ром, равна 0,1.

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,3.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −24.

Ре­ше­ние. Функ­ция, диф­фе­рен­ци­ру­е­мая на от­рез­ке [a; b], не­пре­рыв­на на нем. Если функ­ция не­пре­рыв­на на от­рез­ке [a; b], а её про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (от­ри­ца­тель­на) на ин­тер­ва­ле (a; b), то функ­ция воз­рас­та­ет (убы­ва­ет) на от­рез­ке [a; b].

По­это­му про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции не­от­ри­ца­тель­на, то есть про­ме­жут­кам (−11; −10], [−7; −1] и [2; 3). Наи­боль­ший из них  — от­ре­зок [−7; −1], длина ко­то­ро­го равна 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим сов­па­да­ю­щую оцен­ку по раз­ным по­ка­за­те­лям По­сколь­ку все по­ка­за­те­ли равны друг другу, все они равны Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу, учи­ты­вая, что рей­тинг равен x:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Пусть пли­точ­ник пла­ни­ру­ет укла­ды­вать x кв. м плит­ки в те­че­ние y дней. Если он будет укла­ды­вать кв. м плит­ки в те­че­ние дней, то вы­пол­нит ту же ра­бо­ту. По­сколь­ку всего нужно уло­жить 175 кв. м плит­ки, можно со­ста­вить си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, пли­точ­ник пла­ни­ру­ет в те­че­ние 7 дней укла­ды­вать по 25 кв. м плит­ки в день.

Ответ: 25.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть пли­точ­ник пла­ни­ру­ет укла­ды­вать x кв. м плит­ки в день и спра­вить­ся с ра­бо­той за дней. Если укла­ды­вать кв. м плит­ки в день, то ра­бо­та будет вы­пол­не­на за дня. Имеем:

Таким об­ра­зом, пли­точ­ник дол­жен укла­ды­вать по 25 кв. м плит­ки в день.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть пли­точ­ник пла­ни­ру­ет был укла­ды­вать x кв. м плит­ки в день. Тогда он уло­жит всю плит­ку за дней. Если бы он укла­ды­вал на 10 кв. м в день боль­ше, то уло­жил бы плит­ку на два дня рань­ше и сде­лал это за дней. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

От­ри­ца­тель­ный ко­рень не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, пли­точ­ник пла­ни­ру­ет еже­днев­но укла­ды­вать по 25 кв. м плит­ки.

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ЕГЭ.

В от­кры­том банке за­да­ний пер­вое пред­ло­же­ние та­ко­во: «пли­точ­ник дол­жен уло­жить...». Мы от­ре­дак­ти­ро­ва­ли усло­вие для более яс­но­го его по­ни­ма­ния.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем дан­ную функ­цию:

Гра­фик функ­ции имеет го­ри­зон­таль­ную асимп­то­ту y  =  1, зна­чит, k  =  1. Гра­фик функ­ции имеет вер­ти­каль­ную асимп­то­ту x  =  −4, зна­чит, b  =  4. По гра­фи­ку f(1)  =  2, тогда

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся либо в точке либо в точке Най­дем эти зна­че­ния:

Зна­че­ние −5 боль­ше.

Ответ: −5.

Ре­ше­ние. а)  Имеем:

б)  При по­мо­щи чис­ло­вой оси от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку по­лу­чим число

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мые AP и BB₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке X (см. рис.). Тогда точка K  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых XQ и B₁C₁. Тре­уголь­ни­ки AXB и PXB₁ по­доб­ны, от­ку­да

Тре­уголь­ни­ки B₁XK и C₁QK тоже по­доб­ны, а по­то­му

Зна­чит,

б)  Пусть Y  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых QX и BC, а V  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CD и AY. Тогда пя­ти­уголь­ник APKQV  — се­че­ние, пло­щадь ко­то­ро­го надо найти. Тре­уголь­ни­ки C₁KQ и CYQ равны, от­ку­да CY  =  C₁K  =  1. Тре­уголь­ни­ки AYB и VYC по­доб­ны, от­ку­да Четырёхуголь­ник APKY  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, в ко­то­рой

Тре­уголь­ник QYV  — рав­но­сто­рон­ний со сто­ро­ной его пло­щадь Вы­чис­лим вы­со­ту тра­пе­ции APKY, Таким об­ра­зом, её пло­щадь Зна­чит, ис­ко­мая пло­щадь равна

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

Про­ве­дем пря­мую AP, про­ве­дем пря­мую QT па­рал­лель­ную пря­мой AP, со­еди­ним точки A и T, про­ве­дем пря­мую PK па­рал­лель­но пря­мой AT, со­еди­ним точки K и Q. Пя­ти­уголь­ник APKQT  — ис­ко­мое се­че­ние.

Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек плос­ко­сти A, P и Q в урав­не­ние плос­ко­сти по­лу­чим:

Из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы на­хо­дим Под­ста­вим во вто­рое урав­не­ние и вы­ра­зим С:

На­хо­дим B:

По­лу­ча­ем урав­не­ние плос­ко­сти APQ:

По усло­вию тогда Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки K в урав­не­ние плос­ко­сти APQ:   — ра­вен­ство верно, зна­чит, точка K при­над­ле­жит плос­ко­сти α. Сле­до­ва­тель­но, B₁K : KC₁  =  2 : 1.

б)  Спро­ек­ти­ру­ем се­че­ние APKQT на плос­кость ABC, по­лу­чим пя­ти­уголь­ник AP′K′CT (см. рис.). Тре­уголь­ни­ки AA₁P и QCT по­доб­ны по двум углам, зна­чит, CT  =  1 и TD  =  3. По­этап­но най­дем пло­щадь AP′K′CT:

Най­дем угол φ   между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью про­ек­ции. Век­тор нор­ма­ли к плос­ко­сти APQ имеет ко­ор­ди­на­ты Нор­ма­лью к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC яв­ля­ет­ся век­тор Ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми равен мо­ду­лю ко­си­ну­са угла между нор­ма­ля­ми к ним:

По тео­ре­ме о пло­ща­ди ор­то­го­наль­ной про­ек­ции по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что а и раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби на вы­ра­же­ние от­лич­ное от нуля при всех х:

Пусть тогда:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб., а вто­ро­го  — остав­ши­е­ся (900 000 − x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де можно опла­тить часов ра­бо­ты, а на вто­ром  — часов ра­бо­ты. Ко­ли­че­ство про­из­ведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным кор­ням из этих ве­ли­чин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее целое зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке Найдём ее про­из­вод­ную:

Решая урав­не­ние по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f (x) по­ло­жи­тель­на на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f (x) до­сти­га­ет наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000. Найдём его:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство то­ва­ра, ко­то­рое могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты труда, равно 90 еди­ни­цам.

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. а)  В тре­уголь­ни­ках CKD и CDE угол KCD  — общий,

Зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да

б)  В тре­уголь­ни­ке CKD имеем: от­ку­да Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков CKD и CDE по­лу­ча­ем, что В тре­уголь­ни­ке CKD имеем:

то есть

от­ку­да CK : KE = 2 : 1.

Ответ: б) 2 : 1.

Ре­ше­ние. Сни­мем мо­дуль, по­лу­чим:

Функ­ция f опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на всей ве­ще­ствен­ной оси, ее гра­фик со­сто­ит из ча­стей двух па­ра­бол, ветви ко­то­рых на­прав­ле­ны вниз. Рас­смот­рим оба слу­чая.

Если то Этот квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том при­ни­ма­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние при На­хо­дим:

Най­ден­ное зна­че­ние долж­но быть не мень­ше 1, от­ку­да При таких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра для вы­пол­не­но усло­вие

Если то Этот квад­рат­ный трех­член при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние в точке На­хо­дим:

Най­ден­ное зна­че­ние долж­но быть не мень­ше 1, от­ку­да При таких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра для вы­пол­не­но усло­вие

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Чтобы наи­боль­шее зна­че­ние дан­ной функ­ции было не мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы она в какой-то точке при­ня­ла зна­че­ние 1. В самом деле, Если наи­боль­шее зна­че­ние ее не мень­ше еди­ни­цы, то по не­пре­рыв­но­сти в какой-то точке будет зна­че­ние еди­ни­ца. Если же наи­боль­шее зна­че­ние мень­ше еди­ни­цы, то зна­че­ние еди­ни­ца при­ни­мать­ся не может. Итак, за­да­ча све­лась к такой  — при каких a есть корни у урав­не­ния По­сколь­ку это урав­не­ние рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти

Эта со­во­куп­ность имеет ре­ше­ния если или если то есть при или

Ответ:

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

За­дан­ная функ­ция не­пре­рыв­на и на бес­ко­неч­но­стях стре­мит­ся к минус бес­ко­неч­но­сти. По­это­му при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния. Тогда для того, чтобы наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции было не мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы не­ра­вен­ство имело ре­ше­ние. За­пи­шем его в виде

и по­стро­им гра­фи­ки левой и пра­вой ча­стей не­ра­вен­ства.

Гра­фик пра­вой части не­ра­вен­ства  — па­ра­бо­ла, по­лу­чен­ная из па­ра­бо­лы, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем сдви­гом на 1 вверх вдоль оси ор­ди­нат. Гра­фик пра­вой части не­ра­вен­ства по­лу­ча­ет­ся сдви­гом гра­фи­ка функ­ции сдви­гом на |a| еди­ниц вдоль оси абс­цисс впра­во или влево в за­ви­си­мо­сти от знака a.

Пусть при пра­вая ветвь гра­фи­ка мо­ду­ля ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы, а при   — левая (см. рис.). Тогда при па­ра­бо­ла це­ли­ком лежит выше гра­фи­ка мо­ду­ля и не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний. При про­чих зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра не­ра­вен­ство имеет ре­ше­ния, по­это­му оста­лось уста­но­вить зна­че­ния, со­от­вет­ству­ю­щие ка­са­нию.

При в силу ра­вен­ства по­лу­ча­ем урав­не­ние или Слу­чаю ка­са­ния со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное ре­ше­ние этого урав­не­ния, по­это­му его дис­кри­ми­нант дол­жен быть равен нулю: от­ку­да Ана­ло­гич­но для по­лу­ча­ем урав­не­ние от­ку­да на­хо­дим или Тем самым,

Ре­ше­ние. а)  При­ве­дем при­мер такой суммы:

б)  При­ве­дем при­мер такой суммы:

в)  Пусть m  =  dp, n  =  dq, где d  — наи­боль­ший общий де­ли­тель чисел m и n. Тогда Числа p, q и p + q по­пар­но вза­им­но про­стые, по­это­му числа p и q яв­ля­ют­ся вза­им­но про­сты­ми де­ли­те­ля­ми числа 14. По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие ва­ри­ан­ты:

Ответ:

а)  да, на­при­мер

б)  да, на­при­мер или дру­гой при­мер:

в)  28 и 28, 21 и 42, 16 и 112, 15 и 210, 18 и 63.