PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Решение. Угол между высотами равен углу между сторонами, к которым они проведены: 
Ответ: 82.
На клетчатой бумаге с размером клетки
изображен треугольник ABC. Найдите скалярное произведение 
Решение. Найдем стороны треугольника по теореме Пифагора (см. рис.), получим: 
Квадрат большей стороны равен сумме квадратов меньших сторон, поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABC — прямоугольный.
Пусть угол между катетом AC и гипотенузой AB равен α, тогда 
По определению скалярного произведения получаем:
Ответ: 5.
Приведём решение, которое предложил Вячеслав Стражец:
Введём систему координат как показано на рисунке. Определим координаты векторов 
и 
Найдём скалярное произведение векторов через их координаты:
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.
Решение. Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости равен 2/25 исходного объёма:
Ответ: 184.
Приведем решение Георгия Таксы.
Из формулы для объема призмы 
найдем площадь основания:
Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости:
Приведем решение Ивана Лободы.
1. Найдем площадь основания сосуда: 
2. Найдем суммарный объем воды и детали: 
3. Разность объемов воды с деталью и начального объема равна объему детали: 
На конференцию приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
Решение. Всего в семинаре принимает участие 3 + 3 + 4 = 10 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает восьмым, окажется из России, равна 3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты, равна 
Ответ: 0,027.
Найдите корень уравнения 
Решение. Возведем в квадрат:
Ответ: 3.
Найдите 
если 
и 
Решение. Поскольку угол альфа лежит в третьей четверти, его тангенс положителен. Поэтому
Тогда
Ответ: 5.
На рисунке изображён график функции
и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции 
в точке x0.
Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках
Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Следовательно,
Ответ:
Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле 
где 
км
Решение. Задача сводится к решению уравнения 
при заданном значении R:
м.
Ответ: 1,25.
Примечание.
Иногда в физике или технике бывает удобно записать какую-либо формулу в определённых единицах измерения, особенно часто это используется при инженерных расчётах. При этом, длины, например, могут быть выражены в различных единицах измерения. Здесь удобно использовать величины 
В формуле, приведённой в задании, коэффициент 500 как раз отражает, то что все величины, за исключением h, выражены в километрах.
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте
Решение. Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть 
км
Поэтому средняя скорость путешественника — 38,4 км/ч.
Ответ: 38,4.
На рисунке изображены графики функций видов
и 
пересекающиеся в точках
Решение. По графику 
тогда
c = 0, 
Значит, квадратичная функция имеет вид 
Заметим, что k — тангенс угла наклона прямой по отношению к оси абсцисс, тогда
Значит, линейная функция имеет вид 
Найдём абсциссу
Таким образом, абсцисса
Ответ: 4.
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке [−4,5; 0].
Решение. Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 
заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 20.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. a) Преобразуем уравнение:
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые
а) Докажите, что AA1 = AC.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 6, BC = 3.
Решение. а) Спроектируем наклонную
на плоскость 
ее проекцией является прямая 
Так как 
по теореме о трех перпендикулярах, следует, что 
Таким образом, в прямоугольнике 
диагонали перпендикулярны, поэтому он является квадратом, следовательно, 
б) Из п. а) следует, что 
и пересекается с ней в середине Пусть M — середина 
тогда искомое расстояние равно расстоянию между проекциями прямых на плоскость 
то есть расстоянию от точки M до прямой 
Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника проведённой к гипотенузе:
Ответ: б) 
Приведем другой способ решения для п. а).
Если 
то скалярное произведение векторов 
Введем систему координат с началом 
тогда 
получим координаты векторов 
и 
По условию 
а значит, что 
это возможно, когда 
то есть при 
или 
однако, ввиду того, как введена система координат, a и b имеют одинаковые знаки, значит, 
тогда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Разделим обе части неравенства на 
:
Решение будем искать при условиях
При этих условиях получаем неравенство:
Таким образом, множество решений исходного неравенства: 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
| Долг (в млн рублей) | S | 0,7S | 0,4S | 0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше
Решение. Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:
По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 25%, значит, долг в январе каждого года равен:
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:
По условию, каждая из выплат должна быть больше 
Тогда:
Наименьшее целое решение этого неравенства — число 11. Значит, искомый размер кредита — 11 млн рублей.
Ответ: 11.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что АВ = CD.
б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.
Решение. а) Углы ABD и ACD прямые, поэтому вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности диаметром AD. Значит, АВ = CD, поскольку
б) Пусть ВН — высота трапеции ABCD. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Следовательно, AD = 2AH + BC. Тогда
откуда получаем уравнение 
Его положительным корнем является AH = 0,5, и тогда AD = 8.
Ответ: 8.
Приведем другую идею решения пункта б).
Так как BH — высота прямоугольного треугольника ABD, квадрат катета AB равен произведению проекции этого катета на гипотенузу, то есть проекции AH на AD. Но 
откуда получаем 
или
Приведем решение пункта б) Анастасии Белоусовой.
По теореме Птолемея произведение диагоналей четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон:
Трапеция равнобедренная, следовательно, ее диагонали равны, тогда
Из прямоугольного треугольника ACD получим 
Пусть AD = x, тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке 
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению 
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 
Второй случай: 
при условии 
Это уравнение имеет на отрезке 
единственный корень 
Условие принимает вид 
То есть в этом случае 
при 
Корень уравнения 
принадлежит отрезку при 
Корни уравнения и совпадают при 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при 
и 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Имеем:
Построим график полученной системы в осях xOa.
Анализируя график, получаем, что при исходное уравнение на отрезке имеет одно решение, при 
— два решения, при 
— одно решение.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек  и/или  | 3 |
В решении верно найдены корни при  и  при  возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: при  при  ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений а из-за вычислительной ошибки | 2 |
| В решении верно найден один из корней при или при возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: при при | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Решение. Заметим, что если среди выписанных чисел есть число 1, то попарные суммы всех остальных чисел будут делиться на 1.
а) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015 (выписано 1008 нечётных чисел от 1 до 2015 и число 2). Сумма 1 и любого нечётного числа делится на 2, сумма 1 и 2 делится на 3, сумма любых двух чисел, отличных от 1, делится
Другой пример: 1, 2, 3, ..., 1007, 2014, 2015. Если среди двух чисел нет 1, то их сумма делится на 1. Если вместе с 1 выписаны числа k и k + 1, то сумма первых двух делится на третье; оставшиеся суммы 1 + 1007 и 1 + 2015 делятся
Третий пример: 1, 2, 3, 5, 6, ... , 1009, 2015 (в группе подряд идущих чисел пропущено 4).
б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a = 403.
в) Пример для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 5a, где a = 403.
Покажем, что трёх чисел быть не может. Действительно, пусть три различных числа таковы, что a < b < c. Тогда a + b < 2b < b + c < 2c, откуда в силу делимости суммы двух меньших чисел на большее получаем: a + b = c. Тогда b < a + c = 2a + b < 3b, откуда в силу делимости а + с на b получаем: a + c = 2b. Тогда b = 2a, c = 3a, а искомая тройка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По условию одно из этих чисел равно 2015, поскольку 2015 не делится ни на 2, ни на 3, им может быть только число a. Но в этом случае 3a > 5000. Противоречие.
Приведём другое доказательство.
Пусть даны числа a, b, c, и сумма любых двух из них делится на третье. Если они все имеют отличный от 1 наибольший общий делитель d, то на него можно сократить, и свойство делимости сохранится. Будем считать, что все три числа взаимно простые. Поскольку сумма двух чисел делится на третье, то сумма всех чисел делится на каждое. Числа попарно взаимно просты, поэтому их сумма должна делиться на произведение. В частности, a + b + c ≥ abc. Полагая a < b < c, имеем a + b + c < 3c, откуда ab < 3. Следовательно, a = 1, b = 2. При этом c + 3 делится на 2c, поэтому c = 3. Таким образом, тройка чисел должна иметь вид d, 2d, 3d. Поскольку 2015 нечётно и не делится на 3, оно равно d, но тогда 3d > 5000.
Ответ: а) может, например числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015; б) может, например числа 1, 2, 3, 5, 2015; в) 4, например, 1, 2, 3, 2015.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 27779 | 82 |
| 2 | 654451 | 5 |
| 3 | 27047 | 184 |
| 4 | 285924 | 0,3 |
| 5 | 320201 | 0,027 |
| 6 | 26656 | 3 |
| 7 | 26776 | 5 |
| 8 | 27505 | -2 |
| 9 | 27984 | 1,25 |
| 10 | 99604 | 38,4 |
| 11 | 642407 | 4 |
| 12 | 26715 | 20 |
| 13 | 527846 | |
| 14 | 517460 | б) |
| 15 | 484584 | |
| 16 | 514477 | 11. |
| 17 | 520824 | 8. |
| 18 | 517518 | |
| 19 | 509826 | а) может, например числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015; б) может, например числа 1, 2, 3, 5, 2015; в) 4, например, 1, 2, 3, 2015. |