а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 2. На ребре EE₁ от­ме­че­на точка L так, что EL : LE₁  =  3 : 1. Плос­кость α про­хо­дит через точки A и L, со­став­ля­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол, рав­ный и пе­ре­се­ка­ет ребро DD₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку D₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму S мил­ли­о­нов руб­лей на 4 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года (r  — целое число);

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле 2027 и 2028 годов долг дол­жен со­став­лять 58% и 21% от пер­во­на­чаль­ной суммы S со­от­вет­ствен­но;

—  в июле 2029 и 2030 годов вы­пла­ты долж­ны быть рав­ны­ми, и к июлю 2030 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те наи­мень­шее целое зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­вит более 1,19S (то есть пе­ре­пла­та пре­вы­сит 19%).

Две окруж­но­сти ω₁ и ω₂ с цен­тра­ми O₁ и O₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P, пе­ре­се­ка­ет окруж­ность ω₁ в точке A, а окруж­ность ω₂  — в точке B. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку Q па­рал­лель­но AB, пе­ре­се­ка­ет ω₁ и ω₂ в точ­ках С и D со­от­вет­ствен­но.

а)  Пусть H₁ и H₂  — ор­то­цен­тры тре­уголь­ни­ков AQC и BQD со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что H₁H₂  =  2O₁O₂.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ACDB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 13 и 15, рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 14, а пря­мая АВ па­рал­лель­на линии цен­тров.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет ровно два це­ло­чис­лен­ных ре­ше­ния.

Бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность {a_n}, со­сто­я­щая из на­ту­раль­ных чисел, стро­ит­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Возь­мем любое на­ту­раль­ное число a и пусть a₁  =  a. Далее для всех если a_n − 1 де­лит­ся на n, то а если a_n − 1 не де­лит­ся на n, то a_n  =  a_n − 1 · n. На­при­мер, если a  =  1, то по­сле­до­ва­тель­ность такая: 1, 2, 6, 24, 120, 20, 140, 1120, 10080, 1008, ...

а)  Может ли при каком-то на­чаль­ном зна­че­нии a₁  =  a в по­сле­до­ва­тель­но­сти на вось­мом месте ока­зать­ся число 17?

б)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность {a_n} на­чи­ная с не­ко­то­ро­го но­ме­ра n, толь­ко воз­рас­тать?

в)  Может ли пер­вый эле­мент a₁ по­явить­ся в по­сле­до­ва­тель­но­сти еще раз?