PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 118° и 38°. Ответ дайте в градусах.
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов
и 
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, 
прямоугольного параллелепипеда 
у которого 
В коробке лежат красные пуговицы, столько же белых, 18 жёлтых и 36 зелёных — всего 100 пуговиц. Портной достаёт из коробки одну случайную пуговицу. Какова вероятность того, что она окажется красной или жёлтой?
Платежный терминал в течение рабочего дня может выйти из строя. Вероятность этого события 0,07. В торговом центре независимо друг от друга работают два таких платёжных терминала. Найдите вероятность того, что хотя бы один из них в течение рабочего дня будет исправен.
Найдите корень уравнения 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Найдите значение выражения 
На рисунке изображены график функции
и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой 
где 
м
—
— смещение камня по горизонтали, 
—
Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
На рисунке изображён график функции
где a и b — целые числа. Найдите 
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
Решите неравенство 
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, причем 
и точка M внутри трапеции, такая, что 
а) Докажите, что АM = DM.
б) Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50°, а высота, проведённая из точки M к АD, равна BC.
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
равна вектору 
Вектор 
делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Следовательно, по теореме Пифагора получаем:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Поэтому 
: при заданных значениях параметров a и b:
м.
часов.
км
км
часа.
тогда 
Найдем 
:
Второй множитель — квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, область определения уравнения задается неравенством 
На этой области второй множитель не обращается в нуль. Рассмотрим случай, когда нулю равен первый множитель. Последовательно получаем:
отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
и 
как высота равностороннего треугольника BPD. Применяя теорему косинусов к треугольнику APD, получаем 
откуда 
Пусть BKML — указанное сечение (точка K лежит на ребре PA, а точка L — на ребре PC). Отрезки KM и PD перпендикулярны, поэтому 
Аналогично находим 
Значит, 
а потому треугольник PKL подобен треугольнику PAC. Поэтому 
Кроме того, прямые KL и AC параллельны, а прямые AC и BM перпендикулярны, поскольку AC перпендикулярна плоскости BPD, а BM лежит в этой плоскости. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, прямые KL и BM перпендикулярны. Поэтому искомая площадь 
тогда 
и, следовательно, 
откуда 
(тыс. рублей).
поэтому BC — средняя линия треугольника AQD, тогда 
Углы MCD и MBA прямые, из чего следует, что MC и MB — медианы и высоты, тогда треугольники QMD и QMA равнобедренные, то есть 
а значит, 
что и требовалось доказать.
MN — медиана, откуда 
тогда 
MN — медиана, 
поэтому угол 
Треугольник MND прямоугольный и равнобедренный, тогда 
Заметим теперь, что 
тогда 
Имеем:
Тогда 
хотя бы одно решение, не равное 
Таким образом, уравнение на отрезке 
и 
то есть при 
При 
функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
В этом случае получим:
кроме точки, в которой 
то есть кроме точки 
тогда 
кроме значения 
Таким образом, 
кроме 
тогда последнее уравнение примет вид 
В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку 
угловой коэффициент 
получаем:
или 
Далее заметим, что при условии 
можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде 
Отметим далее, что в силу введённых обозначений 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (
) и отличные от точек прямой 
сотен,
десятков
единиц.
и 
