СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 520496

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной пи­ра­ми­ды PABCD лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 6. Се­че­ние пи­ра­ми­ды про­хо­дит через вер­ши­ну В и се­ре­ди­ну ребра PD пер­пен­ди­ку­ляр­но этому ребру.

а) До­ка­жи­те, что угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды к её ос­но­ва­нию равен 60°.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

а) Углом между пря­мой и плос­ко­стью на­зы­ва­ет­ся угол между пря­мой и ее про­ек­ци­ей на эту плос­кость. По­сколь­ку за­дан­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, ее вер­ши­на про­ек­ти­ру­ет­ся в точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии квад­ра­та. По­это­му про­ек­ци­ей пря­мой PB на плос­кость ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся пря­мая BD. Най­дем угол PBD.

Пусть M — се­ре­ди­на PD. Так как пря­мая BM лежит в плос­ко­сти се­че­ния, пер­пен­ди­ку­ляр­но­го PD, от­рез­ки BM и PD пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то есть в тре­уголь­ни­ке BPD ме­ди­а­на BM яв­ля­ет­ся вы­со­той. Зна­чит, BP = BD, но, так как PB = PD, тре­уголь­ник BPD рав­но­сто­рон­ний, а по­это­му что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Из до­ка­зан­но­го сле­ду­ет, что и как вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка BPD. При­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке APD, по­лу­ча­ем от­ку­да Пусть BKML — ука­зан­ное се­че­ние (точка K лежит на ребре PA, а точка L — на ребре PC). Так как от­рез­ки KM и PD пер­пен­ди­ку­ляр­ны, Ана­ло­гич­но на­хо­дим Зна­чит, а по­то­му тре­уголь­ник PKL по­до­бен тре­уголь­ни­ку PAC. По­это­му Кроме того, пря­мые KL и AC па­рал­лель­ны, а пря­мые AC и BM пер­пен­ди­ку­ляр­ны, так как AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BPD, а BM лежит в этой плос­ко­сти. Зна­чит, пря­мые KL и BM пер­пен­ди­ку­ляр­ны. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь равна

 

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 520496: 520516 Все

Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида, Угол между прямой и плоскостью