В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
а) Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Поскольку заданная четырёхугольная пирамида правильная, ее вершина проецируется в точку пересечения диагоналей лежащего в основании квадрата. Поэтому проекцией прямой PB на плоскость основания является прямая BD. Найдем угол PBD.
Пусть M — середина PD. Прямая BM лежит в плоскости сечения, перпендикулярного PD, поэтому отрезки BM и PD перпендикулярны, то есть в треугольнике BPD медиана BM является высотой. Значит, BP = BD, но, поскольку PB = PD, треугольник BPD равносторонний, а поэтому 
б) Из доказанного следует, что 
и 
как высота равностороннего треугольника BPD. Применяя теорему косинусов к треугольнику APD, получаем 
откуда 
Пусть BKML — указанное сечение (точка K лежит на ребре PA, а точка L — на ребре PC). Отрезки KM и PD перпендикулярны, поэтому 
Аналогично находим 
Значит, 
а потому треугольник PKL подобен треугольнику PAC. Поэтому 
Кроме того, прямые KL и AC параллельны, а прямые AC и BM перпендикулярны, поскольку AC перпендикулярна плоскости BPD, а BM лежит в этой плоскости. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, прямые KL и BM перпендикулярны. Поэтому искомая площадь
Ответ: 