СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 520496

В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.

а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды.

Решение.

а) Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Поскольку заданная четырёхугольная пирамида правильная, ее вершина проецируется в точку пересечения диагоналей лежащего в основании квадрата. Поэтому проекцией прямой PB на плоскость основания является прямая BD. Найдем угол PBD.

Пусть M — середина PD. Так как прямая BM лежит в плоскости сечения, перпендикулярного PD, отрезки BM и PD перпендикулярны, то есть в треугольнике BPD медиана BM является высотой. Значит, BP = BD, но, так как PB = PD, треугольник BPD равносторонний, а поэтому

б) Из доказанного следует, что и как высота равностороннего треугольника BPD. Применяя теорему косинусов к треугольнику APD, получаем откуда Пусть BKML — указанное сечение (точка K лежит на ребре PA, а точка L — на ребре PC). Так как отрезки KM и PD перпендикулярны, Аналогично находим Значит, а потому треугольник PKL подобен треугольнику PAC. Поэтому Кроме того, прямые KL и AC параллельны, а прямые AC и BM перпендикулярны, так как AC перпендикулярна плоскости BPD, а BM лежит в этой плоскости. Значит, по теореме о трех перпендикуляках, прямые KL и BM перпендикулярны. Поэтому искомая площадь

 

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 520496: 520516 Все

Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида, Угол между прямой и плоскостью