Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD из­вест­но, что AB  =  2. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B и D.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость α делит ребро SC, счи­тая от вер­ши­ны S, если пло­щадь се­че­ния равна  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Про­ве­дем от­ре­зок BH  — вы­со­ту тре­уголь­ни­ка SBC. Тре­уголь­ни­ки SBC и SDC равны, по­это­му от­ре­зок DH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка SDC. Тогда плос­кость BHD по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SC. Кроме того, точка O лежит в этой плос­ко­сти, сле­до­ва­тель­но, плос­кость BHD сов­па­да­ет с плос­ко­стью α.

б)  Вы­ра­зим пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BHD:

S_BHD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби OH умно­жить на BD рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби OH умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но OH = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Пря­мая OH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SC, по­сколь­ку лежит в плос­ко­сти BDH. Тогда

HC в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та } пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 2 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­ку­да HC = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По свой­ству пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SC умно­жить на HC = OC в квад­ра­те , от­ку­да

SC умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 2 рав­но­силь­но SC = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

От­ре­зок SH равен  2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

дробь: чис­ли­тель: SH, зна­ме­на­тель: HC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби .

Ответ: б)  3 : 1.


-------------
Дублирует задание № 681300.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025