PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите угол ABD, если угол BAD равен 35° и угол ACB равен 40°.
Даны векторы 
и 
Найдите скалярное произведение 
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8 спортсменов из Сербии, 3 спортсмена из Хорватии и 6 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображён график функции
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции 
в точке
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением 
Скорость 
(в км/ч)
где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.
Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB = 2. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D.
б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S, если площадь сечения 
Решите неравенство 
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составила 7830 тысяч рублей?
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что 
а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны МN, если 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 032.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 312?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 6?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.
Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому
откуда, учитывая, что 
получаем: 
или 
откуда, учитывая, что 
или 
следовательно,
км/ч, а скорость лодки против течения равна 
км/ч. На весь путь лодка затратила 
(часов), отсюда имеем:
Значит, 
По графику, g(2) = −1, тогда 
Значит, 
б) 
откуда
и 
имеют одинаковые знаки. Получим: 
Следовательно, точки L, O, A лежат на одной прямой.
Таким образом, длина стороны MN равна
тогда в прямоугольном треугольнике LAM с углом 60° находим: 
тогда 
По свойству описанного четырёхугольника 
тогда 
тогда 
Раскроем модули:
Заметим, что значения 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а каждое значение 
дает два решения исходного уравнения.
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 4, либо должно иметь единственное решение, большее чем 4. Рассмотрим эти случаи.
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 4, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 4 отрицательно:
и 
Имеем:
и/или 
где 
тоже давало остаток 32 при делении на 60, то есть чтобы 
было кратно 60. Первое слагаемое кратно 60, а для второго требуется, чтобы 
было кратно 15, то есть 