Ре­ше­ние. Уста­нов­ка счет­чи­ков поз­во­ля­ет еже­ме­сяч­но эко­но­мить 1700 − 1000  =  700 руб. Зна­чит, они оку­пят­ся через ме­ся­ца или за 4 пол­ных ме­ся­ца.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Ма­га­зин сни­зил цену на пакет ке­фи­ра на 40 − 38  =  2 рубля. Раз­де­лим 2 на 40:

Зна­чит, скид­ка для пен­си­о­не­ров со­став­ля­ет 5%.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что число стран, в ко­то­рых сред­ний балл по ма­те­ма­ти­ке ниже 515 равно 4 (см. рис.).

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка A сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти бруса 3700 · 40  =  148 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки: 148 000 + 9 900  =  157 900 руб.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка Б сто­и­мость бруса со­став­ля­ет 4000 · 40  =  160 000 руб., что пре­вы­ша­ет 150 000 руб., по­это­му до­став­ка бес­плат­на. Таким об­ра­зом, сто­и­мость за­ка­за 160 000 руб.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка В сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти бруса 3800 · 40  =  152 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки: 152 000 + 7900  =  159 900 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го ва­ри­ан­та со­став­ля­ет 157 900 руб­лей.

Ответ: 157 900.

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что длина вы­со­ты, опу­щен­ной на про­дол­же­ние сто­ро­ны AB, равна 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по Ве­ли­кой Оте­че­ствен­ной войне, равна

Ответ: 0,26.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем обе части урав­не­ния в тре­тью сте­пень:

Ре­ше­ние. Угол между пря­мы­ми равен углу между пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми к ним, по­это­му ∠DOE = ∠CAE  =  180° −∠CAB  =  45°.

Ответ: 45.

Ре­ше­ние.

На­пом­ним, что если функ­ция не­пре­рыв­на на от­рез­ке [a; b], а её про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (от­ри­ца­тель­на) на ин­тер­ва­ле (a; b), то функ­ция воз­рас­та­ет (убы­ва­ет) на от­рез­ке [a; b].

Таким об­ра­зом, функ­ция f, гра­фик про­из­вод­ной ко­то­рой дан в усло­вии, воз­рас­та­ет на от­рез­ках [−5; −3] и [3; 5] и убы­ва­ет на от­рез­ке [−3; 3].

Из этого сле­ду­ет, что f при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние на левой гра­ни­це от­рез­ка, в точке −5, или в точке ми­ни­му­ма х_min  =  3. В силу воз­рас­та­ния f на от­рез­ке [3; 5] спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство f (5) > f (3). По­сколь­ку по усло­вию f (−5) не мень­ше, чем f (5), спра­вед­ли­ва оцен­ка f (−5) > f (3).

Таким об­ра­зом, наи­мень­ше­го зна­че­ния функ­ция f до­сти­га­ет в точке 3. Гра­фик одной из функ­ций, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию, при­ведён на ри­сун­ке.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние Б. М. Бек­ке­ра (Санкт-⁠Пе­тер­бург).

Не­пре­рыв­ность функ­ции на кон­цах от­рез­ка су­ще­ствен­на. Дей­стви­тель­но, если бы функ­ция f имела в точке 5 раз­рыв пер­во­го рода (см. рис.), зна­че­ние f (5) могло ока­зать­ся мень­ше зна­че­ния f (3), а тогда наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке [−5; 5] яв­ля­лось бы зна­че­ние функ­ции в точке 5.

При­ме­ча­ние пор­та­ла РЕШУ ЕГЭ.

Мы были удив­ле­ны, об­на­ру­жив это за­да­ние в эк­за­ме­на­ци­он­ной ра­бо­те до­сроч­но­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.04.2014 г. Это не­про­стое за­да­ние от­сут­ству­ет в От­кры­тых бан­ках за­да­ний, что, не­со­мнен­но, ока­за­лось не­при­ят­ным сюр­при­зом для вы­пуск­ни­ков.

При­ме­ча­ние Алек­сандра Ла­ри­на (Москва).

В этой за­дач­ке весь ужас «вы­стре­лил вхо­ло­стую», 99,9999% ре­ша­ю­щих даже и не об­ра­тят вни­ма­ние на по­тен­ци­аль­ную угро­зу  — ответ-⁠то по­лу­ча­ет­ся такой же. А про со­от­но­ше­ние зна­че­ний на гра­ни­цах и уж тем более про не­пре­рыв­ность никто чи­тать и не со­би­ра­ет­ся :-) А вот если усло­вие слег­ка по­ме­нять, то «минус балл» всей стра­не обес­пе­чен будет.

Ре­ше­ние. Ребро куба равно двум ра­ди­у­сам впи­сан­но­го в куб шара, по­это­му объем куба, вы­ра­жен­ный через ра­ди­ус впи­сан­но­го в него шара, даётся фор­му­лой Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле от­ку­да имеем:

Таким об­ра­зом, объём куба равен 36.

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Най­дем, за какое время t, про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, ав­то­мо­биль про­едет 36 мет­ров:

Зна­чит, через 3 се­кун­ды после на­ча­ла тор­мо­же­ния ав­то­мо­биль про­едет 36 мет­ров.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в 8 раз боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­са, он равен 200 мл. Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо до­лить 200 − 25 = 175 мл жид­ко­сти.

Ответ: 175.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что время подъ­ема со­ста­ви­ло 1 час 30 минут или 1,5 часа, а время спус­ка 1,25 часа. Пусть x км/ч  — ско­рость дви­же­ния пе­ше­хо­да на спус­ке, тогда х − 2 км/ч  — ско­рость дви­же­ния пе­ше­хо­да на подъ­еме, 1,25х км  — длина пути на спус­ке, 1,5(х − 2) км  — длина пути на подъ­еме. Всего было прой­де­но 8 км, от­ку­да имеем:

Тем самым, ско­рость пе­ше­хо­да на спус­ке была равна 4 км/ч.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде

При по­лу­чим: от­ку­да

При по­лу­чим: от­ку­да

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни при­над­л­жа­щие от­рез­ку

По­лу­чим числа:

Ответ:а) б)

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 505126.

Ре­ше­ние.

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, M  — се­ре­ди­на хорды Дуга AB со­став­ля­ет ше­стую часть окруж­но­сти ос­но­ва­ния, по­это­му Тре­уголь­ник AOB равноcто­ро­ний, сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник APB  — ис­ко­мое се­че­ние. как об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са. Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, его углы при ос­но­ва­нии ост­рые. Но угол P мень­ше угла B, по­сколь­ку он лежит на­про­тив мень­шей сто­ро­ны, по­это­му и угол  P тоже ост­рый. Таким об­ра­зом, до­ка­за­но, что тре­уголь­ник APB рав­но­бед­рен­ный и ост­ро­уголь­ный.

б)  От­ре­зок PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка APB:

Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му пер­вое не­ра­вен­ство можно умно­жить на не меняя его знака, от­ку­да имеем:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы, ис­поль­зуя тео­ре­му о знаке ло­га­риф­ма:

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка OBC. Из усло­вия сле­ду­ет, что Тогда От­ку­да, по свой­ству впи­сан­ных углов, сле­ду­ет, что точки О, В, К, С лежат на одной окруж­но­сти.

б)  По усло­вию, тогда Рас­смот­рим в нем В обо­зна­че­ни­ях пунк­та а): тогда так как че­ты­рех­уголь­ник OBKC впи­сан­ный.

тогда

Рас­смот­рим тре­уголь­ник KBC:

Ответ:10.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что если число x₀ яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния, то и число также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем этого урав­не­ния. Зна­чит, если урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, то это ре­ше­ние x = 0.

При x = 0 урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

от­ку­да a  =  0, a  =  2, a  =  4.

При a  =  0 и a  =  4 ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид При x < −2 пра­вая часть урав­не­ния При левая часть урав­не­ния не мень­ше 4, причём ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко при x  =  0. При x > 2 пра­вая часть урав­не­ния Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние x  =  0.

При a = 2 ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Числа −2, 0 и 2 яв­ля­ют­ся кор­ня­ми этого урав­не­ния.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при a  =  0 и a  =  4.

Ответ: 0; 4.

Ре­ше­ние. а)  При любой рас­ста­нов­ке раз­ность числа 11 и лю­бо­го со­сед­не­го с ним числа мень­ше 11. Зна­чит, все­гда най­дут­ся хотя бы две раз­но­сти мень­ше 11.

б)  На­при­мер, для рас­ста­нов­ки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все раз­но­сти не мень­ше 10.

в)  Оце­ним зна­че­ние k. Рас­смот­рим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то най­дет­ся раз­ность мень­ше 7. Иначе они стоят через два, по­сколь­ку всего чисел 21. В этом слу­чае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то чис­лом от 2 до 7 и най­дет­ся раз­ность мень­ше 7.

Таким об­ра­зом, все­гда най­дет­ся раз­ность мень­ше 7. Все раз­но­сти могут быть не мень­ше 6. На­при­мер, для рас­ста­нов­ки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все раз­но­сти не мень­ше 6.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  6.