За­да­чу №1 пра­виль­но ре­ши­ли 13230 че­ло­век, что со­став­ля­ет 42% от вы­пуск­ни­ков го­ро­да. Сколь­ко всего вы­пуск­ни­ков в этом го­ро­де?

На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трёх суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время, по вер­ти­ка­ли  — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между

наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­рой воз­ду­ха 13 июля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Най­ди­те пло­щадь ромба, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 20 спортс­ме­нок: 8 из Рос­сии, 7 из США, осталь­ные из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая.

Ре­ши­те урав­не­ние:

Точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис двух углов па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, при­над­ле­жит про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­не. Мень­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма равна 5. Най­ди­те его боль­шую сто­ро­ну.

Функ­ция y  =  f (x) опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке [−5; 5]. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те точку x₀, в ко­то­рой функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, если f (−5)  ≥  f (5).

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти тре­уголь­ной приз­мы равна 24. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти отсечённой тре­уголь­ной приз­мы.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния если

Трак­тор тащит сани с силой кН, на­прав­лен­ной под ост­рым углом к го­ри­зон­ту. Ра­бо­та трак­то­ра (в ки­лод­жо­у­лях) на участ­ке дли­ной м вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле При каком мак­си­маль­ном угле (в гра­ду­сах) со­вершeнная ра­бо­та будет не менее 2000 кДж?

Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 12 часов, а дру­гой  — за 6 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, CN  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNB₁ раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б)  Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Угол BAC тре­уголь­ни­ка ABC равен Сто­ро­на BC яв­ля­ет­ся хор­дой такой окруж­но­сти с цен­тром O и ра­ди­у­сом R, ко­то­рая про­хо­дит через центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка ABOC можно опи­сать окруж­ность.

б)  Из­вест­но, что в четырёхуголь­ник ABOC можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус r этой окруж­но­сти, если R  =  6,

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взят кре­дит в банке на 1200 тысяч руб­лей на (n+1) месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — cо 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по n-й долг дол­жен быть на 80 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — 15-го числа n-го ме­ся­ца долг со­ста­вит 400 тысяч руб­лей;

  — к 15-му числу (n+1)-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1288 тысяч руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния.

По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из не­от­ри­ца­тель­ных од­но­знач­ных чисел. Пусть M_k  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, кроме k-го. Из­вест­но, что M₁  =  1, M₂  =  2.

а)  при­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, для ко­то­рой M₃  =  1,5.

б)  су­ще­ству­ет ли такая по­сле­до­ва­тель­ность, для ко­то­рой M₃  =  3?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние M₃.