Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
Таким образом, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].
Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).
Таким образом, наименьшего значения функция f достигает в
Ответ: 3.
Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).
Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.
Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.
Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.
Примечание Александра Ларина (Москва).
В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.
Рисунок к задаче не соответствует условию. Функция определена и непрерывна на отрезке [−5; 5], а значит, и в точках −5 и 5 (точки на рисунке должны быть закрашены). Что касается точек разрыва 1-го рода, то в 10—11 классах общеобразовательной школы они не изучаются, и выпускники о них понятия не имеют.
Рисунок к задаче соответствует условию. На рисунке изображен график производной, а производной в точках −5 и 5 не существует. Что касается точек разрыва, то в самом решении используется только имеющееся в школьной программе понятие непрерывности. О точках разрыва первого рода упоминается в примечании Б. М. Беккера, который говорит о том, как могла бы бы измениться задача, если бы по условию разрыв был.
Концы промежутков возрастания и убывания функции всегда исключаются из промежутков монотонности.
Ученикам полезнее с большим уважением относиться к решениям хотя бы тех задач, которые, очевидно, не один раз внимательно прочитаны экспертами. Вы ошибаетесь. Рекомендуем повторить определение монотонности.