На день рож­де­ния по­ла­га­ет­ся да­рить букет из не­чет­но­го числа цве­тов. Тюль­па­ны стоят 30 руб­лей за штуку. У Вани есть 500 руб­лей. Из ка­ко­го наи­боль­ше­го числа тюль­па­нов он может ку­пить букет Маше на день рож­де­ния?

На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­бро­сов уг­ле­кис­ло­го газа в ат­мо­сфе­ру в 10 стра­нах мира (в мил­ли­о­нах тонн) за 2008 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по объёму вы­бро­сов за­ни­мал Па­ки­стан, де­ся­тое место  — Ни­ге­рия. Какое место среди пред­став­лен­ных стран за­ни­ма­ла Чехия?

Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В не­ко­то­ром го­ро­де из 5000 по­явив­ших­ся на свет мла­ден­цев 2512 маль­чи­ков. Най­ди­те ча­сто­ту рож­де­ния де­во­чек в этом го­ро­де. Ре­зуль­тат округ­ли­те до ты­сяч­ных.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те боль­шую диа­го­наль ромба, сто­ро­на ко­то­ро­го равна а ост­рый угол равен 60°.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, D, E, пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

Най­ди­те если и

Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных ин­тер­нет-⁠из­да­ний на ос­но­ве оце­нок ин­фор­ма­тив­но­сти In, опе­ра­тив­но­сти Op, объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций Tr, а также ка­че­ства сайта Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся чи­та­те­ля­ми по 5-⁠балль­ной шкале це­лы­ми чис­ла­ми от 1 до 5.

Ана­ли­ти­ки, со­став­ля­ю­щие фор­му­лу рей­тин­га, счи­та­ют, что объ­ек­тив­ность це­нит­ся втрое, а ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций  — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность и ка­че­ство сайта. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид

Каким долж­но быть число A, чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все оцен­ки наи­боль­шие, по­лу­чи­ло бы рей­тинг 1?

Из двух го­ро­дов, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 560 км, нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Через сколь­ко часов ав­то­мо­би­ли встре­тят­ся, если их ско­ро­сти равны 65 км/⁠ч и 75 км/⁠ч?

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K делит бо­ко­вое ребро AA₁ в от­но­ше­нии AK : KA₁  =  1 : 2. Через точки B и K про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро DD₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DM : MD₁  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если из­вест­но, что AB  =  4, AA₁  =  6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Окруж­ность с цен­тром O, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не KL как на диа­мет­ре, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны MN и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние KN в точке H, точка Q  — се­ре­ди­на MN.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник NQOH  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те KN, если и LM  =  1.

Миша и Маша по­ло­жи­ли в один и тот же банк оди­на­ко­вые суммы под 10% го­до­вых. Через год сразу после на­чис­ле­ния про­цен­тов Миша снял со сво­е­го счета 5000 руб­лей, а еще через год снова внес 5000 руб­лей. Маша, на­о­бо­рот, через год до­ло­жи­ла на свой счет 5000 руб­лей, а еще через год сразу после на­чис­ле­ния про­цен­тов сняла со счета 5000 руб­лей. Кто через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния по­лу­чит боль­шую сумму и на сколь­ко руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Вася и Петя ре­ша­ли за­да­чи из сбор­ни­ка, при­чем каж­дый сле­ду­ю­щий день Вася решал на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий, а Петя  — на две за­да­чи боль­ше, чем в преды­ду­щий. В пер­вый день каж­дый решил хотя бы одну за­да­чу, а в итоге каж­дый решил все за­да­чи сбор­ни­ка.

а)  Могло ли быть в сбор­ни­ке 85 задач?

б)  Могло ли быть в сбор­ни­ке 213 задач, если каж­дый из маль­чи­ков решал их более трех дней?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство дней мог ре­шать за­да­чи Петя, если Вася решил весь сбор­ник за 16 дней, а ко­ли­че­ство задач в сбор­ни­ке мень­ше 300.