PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?
На диаграмме показано распределение выбросов углекислого газа в атмосферу в 10 странах мира (в миллионах тонн) за 2008 год. Среди представленных стран первое место по объёму выбросов занимал Пакистан, десятое место — Нигерия. Какое место среди представленных стран занимала Чехия?
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Найдите корень уравнения 
Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна
а острый угол равен 60°.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E,
правильной шестиугольной призмы 
площадь основания которой
Найдите 
если 
и 
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта 
Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.
Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид
Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?
Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K делит боковое ребро AA1 в отношении AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA1 = 6.
Решите неравенство 
Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.
а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.
б) Найдите KN, если 
и LM = 1.
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.
а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.
см2.
». Согласно этому учебнику, ответ на задачу — 2488. Мы сообщили об этом составителям ЕГЭ в 2020-м году.
откуда 
откуда 
диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, диагональ 
В равнобедренном треугольнике АВD 
Тогда:
б) 
C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника BDM и, следовательно, 
откуда и следует доказываемое утверждение.
Но KN || AC, значит, и 
Следовательно, KN ⊥ BM, поскольку 
и площадь сечения S равна 
Имеем:
:
Значит, прямые OH и MN параллельны, а поскольку прямая OQ — средняя линия трапеции, то параллельны прямые OQ и KN. Противоположные стороны четырёхугольника NQOH попарно параллельны, следовательно, четырехугольник NQOH — параллелограмм.
Трапеция KLMN — равнобедренная, поэтому
Значит, 
При этом 
Следовательно, 
и 
Таким образом, 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат. Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой 
с прямой 
и при 
пересекает правую ветвь гиперболы при 
пересекает левую ветвь гиперболы при 
проходит через точку пересечения прямой 
и при 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 1.
и/или 
множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек
задач, а Петя за m дней решил 
задач.
Очевидно, что и это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например, 
Тогда m — один из делителей числа 213. Заметим, что 71 — простое число, и по условию 
Тогда или 
или 
При любом из этих значений получаем 
Значит, в сборнике не могло быть 213 задач. 
Следовательно, 
получаем 
тогда 
Проверим, мог ли Вася за 16 дней решить 289 задач: 
Левая часть уравнения кратна 8, а правая нет, значит, m не может равняться 17.
Имеем 
Левая часть уравнения кратна 2, а правая нет. Значит, m не может равняться 16.
Имеем 
Левая часть уравнения кратна 15, правая может быть кратна 15 при 
но тогда 
Значит, m не может равняться 15.
Имеем 
Это уравнение имеет решение 
При этом 
Таким образом, все условия задачи выполнены.