Ре­ше­ние. В одной таб­лет­ке ле­кар­ства со­дер­жит­ся 70 · 0,04  =  2,8 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства. Су­точ­ная норма ак­тив­но­го ве­ще­ства для ре­бен­ка весом 8 кг со­ста­вит: 1,05 · 8  =  8,4 мг. Тем самым, ре­бен­ку сле­ду­ет дать 3 таб­лет­ки.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ке­ме­ро­во ниже −10 гра­ду­сов Цель­сия в ян­ва­ре, фев­ра­ле и де­каб­ре, а в осталь­ные ме­ся­цы она выше.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. По­это­му

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Всего воз­мож­ных ис­хо­дов  — че­ты­ре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Бла­го­при­ят­ным яв­ля­ет­ся один: орел-решка. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 1 : 4  =  0,25.

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть по­ло­ви­не сто­ро­ны AD. В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Каж­дая из этих сумм равна по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра че­ты­рех­уголь­ни­ка, по­это­му Тогда и

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Найдём про­из­вод­ную функ­ции g(x):

По ри­сун­ку найдём зна­че­ние Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый, в свою оче­редь, равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­это­му

Тогда для ис­ко­мо­го зна­че­ния по­лу­ча­ем

Ответ: −7.

Ре­ше­ние. Ис­ко­мый объём мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объёмов приз­мы и пи­ра­ми­ды ос­но­ва­ния и вы­со­ты ко­то­рых сов­па­да­ют. По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла :

Ответ: −1,5.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­но­го на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре кВ, со­про­тив­ле­ния ре­зи­сто­ра Ом и ёмко­сти кон­ден­са­то­ра Ф:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим N  — число во­про­сов теста. Тогда время, не­об­хо­ди­мое Пете, равно часа, а время, не­об­хо­ди­мое Ване, равно часа. Петя за­кон­чил от­ве­чать на тест через часа после Вани. По­это­му:

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­ден­ная про­из­вод­ная не­от­ри­ца­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция воз­рас­та­ет на нем, по­это­му наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Два­жды воз­во­дим в квад­рат:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мые A₁Q и BB₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке R (см. рис.). Тогда точка M  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых PR и BC.

Тре­уголь­ни­ки A₁B₁R и QBR по­доб­ны, от­ку­да

Тре­уголь­ни­ки PB₁R и MBR по­доб­ны, от­ку­да

Зна­чит, M  — се­ре­ди­на BC.

б)  Рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти A₁PQ равно вы­со­те h пи­ра­ми­ды BRQM, опу­щен­ной из вер­ши­ны B. Зна­чит, с одной сто­ро­ны, объём пи­ра­ми­ды BRQM

C дру­гой сто­ро­ны, Таким об­ра­зом,

Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка QMR:

Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка QMR равна

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

Пре­об­ра­зу­ем обе части не­ра­вен­ства:

Раз­де­лив обе части на и со­кра­тив левую часть на 7, а пра­вую  — на 4, по­лу­чим:

Сде­ла­ем за­ме­ну: тогда по­лу­чим

от­ку­да ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции по­лу­чим

Решим по­лу­чен­ное ра­ци­о­наль­ное не­ра­вен­ство:

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. a)  За­ме­тим, что Зна­чит, хорды окруж­но­сти AE и AK стя­ги­ва­ют рав­ные дуги. По­это­му эти хорды равны.

б)  По­сколь­ку пря­мые BC и AD па­рал­лель­ны, , по­это­му DE  =  AB  =  DC.

Пусть DM  — ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка CDE. Тогда

По свой­ству се­ку­щей от­ку­да

Ответ: б) 40.

Ре­ше­ние. Пер­вый спо­соб (близ­кий к ариф­ме­ти­че­ско­му ре­ше­нию).

Пусть пер­вый бро­кер купил x акций, а вто­рой  — y акций. Тогда пер­вый про­дал акций, вто­рой  — акций.

То, что сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ных вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, озна­ча­ет: сумма, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, боль­ше суммы, по­лу­чен­ной пер­вым, в 2,4 раза:

Так как цена одной акции у обоих бро­ке­ров оди­на­ко­ва, а по­лу­чен­ные суммы прямо про­пор­ци­о­наль­ны ко­ли­че­ству акций, про­дан­ных каж­дым бро­ке­ром, то

Если k  — ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти ко­ли­че­ства акций, куп­лен­ных бро­ке­ра­ми, то ими при­об­ре­те­но акций на сумму 3640 р. Сле­до­ва­тель­но, на тот мо­мент цена каж­дой акции со­став­ля­ла:

Пер­вый бро­кер про­дал акций, вто­рой акций. Всего было про­да­но акций. К мо­мен­ту про­да­жи цена одной акции стала

Зна­чит, цена одной акции воз­рос­ла на 37,5%

Вто­рой спо­соб (пре­об­ла­да­ет ал­геб­ра­и­че­ский под­ход).

Пусть x р.  — пер­во­на­чаль­ная цена одной акции, y  — ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных пер­вым бро­ке­ром, z  — ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных вто­рым бро­ке­ром. И пусть цена одной акции воз­рос­ла на t %. Тогда: (1)

Со вре­ме­нем цена одной акции вы­рос­ла до руб­лей.

Пер­вый бро­кер про­дал акций на сумму руб­лей, а вто­рой бро­кер  — на руб­лей.

Со­глас­но усло­вию за­да­чи имеем: т. е.

Сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, по­это­му

Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние z в урав­не­ние (1), будем иметь:

Под­ста­вим то же зна­че­ние z в урав­не­ние (2):

А зна­че­ние xy нами най­де­но выше.

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 37,5.

Ре­ше­ние. За­пи­шем урав­не­ние в виде Рас­смот­рим две функ­ции: и Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся по­лу­окруж­ность ра­ди­у­са  2 с цен­тром в точке ле­жа­щая в верх­ней по­лу­плос­ко­сти. При каж­дом зна­че­нии a гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся пря­мая с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том про­хо­дя­щая через точку

Урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, если гра­фи­ки функ­ций и имеют един­ствен­ную общую точку: либо пря­мая ка­са­ет­ся по­лу­окруж­но­сти, либо пе­ре­се­ка­ет её в един­ствен­ной точке.

Ка­са­тель­ная MC, про­ведённая из точки M к по­лу­окруж­но­сти, имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент, рав­ный нулю, то есть при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. При пря­мая не имеет общих точек с по­лу­окруж­но­стью.

Пря­мая MA, за­дан­ная урав­не­ни­ем про­хо­дит через точки и сле­до­ва­тель­но, её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент При пря­мая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент не боль­ше, чем у пря­мой MA, и пе­ре­се­ка­ет по­лу­окруж­ность в двух точ­ках. При пря­мая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент боль­ше, чем у пря­мой MA, и не боль­ше, чем у пря­мой MB, и пе­ре­се­ка­ет по­лу­окруж­ность в един­ствен­ной точке. По­лу­ча­ем, что при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. При  пря­мая не имеет общих точек с по­лу­окруж­но­стью.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Оче­вид­но, что на­чи­ная со вто­рой строч­ки, все числа в таб­ли­це не боль­ше 1000. Кроме того, каж­дое число не боль­ше на­пи­сан­но­го под ним. По­это­му сумма чисел в тре­тьей строч­ке не мень­ше, чем во вто­рой и т. д., и каж­дая из этих сумм не боль­ше мил­ли­о­на. Сле­до­ва­тель­но, по­сколь­ку все время суммы воз­рас­тать не могут, в каких-⁠то со­сед­них строч­ках суммы сов­па­дут, и тогда сов­па­дут и сами строч­ки.

б)  До­ка­жем, что если в m-⁠й строч­ке при число от­лич­но от на­пи­сан­но­го над ним, то оно не мень­ше, чем Дей­стви­тель­но, для это оче­вид­но, по­сколь­ку все числа вто­рой стро­ки на­ту­раль­ные. Пусть это уже про­ве­ре­но для всех строк с но­ме­ра­ми, мень­ши­ми Пусть в -⁠й строч­ке на­пи­са­но число а под ним на­пи­са­но число b, боль­шее Тогда в -⁠й строч­ке на­пи­са­но b чисел, рав­ных Ясно, что в -⁠й строч­ке будет на­пи­са­но не­сколь­ко групп оди­на­ко­вых чисел, по в каж­дой груп­пе, при­чем числа из раз­ных групп раз­лич­ны. От­сю­да вы­те­ка­ет, что b де­лит­ся на то есть Кроме того, по край­ней мере одно из чисел в этих груп­пах от­ли­ча­ет­ся от а зна­чит, по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции Итак, Наше утвер­жде­ние до­ка­за­но по ин­дук­ции для всех Если пред­по­ло­жить, что 11-⁠я строч­ка от­лич­на от 12-⁠й, то какое-⁠то число в 12-⁠й строч­ке будет боль­ше, чем что не­воз­мож­но.

в)  При­ве­дем такой при­мер:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

…………………………………………………………….

256, ……………………………., 256, 488, …, 488

1 512, ……………………………., 512, 488, …, 488

В пер­вой строч­ке 0 и 1 встре­ча­ют­ся по од­но­му разу, 2  — два раза, 4  — че­ты­ре раза, 8  — во­семь раз, …, 256  — 256 раз, 488  — встре­ча­ет­ся 488 раз, в 11 строч­ке встре­ча­ет­ся 512 раз число 512 и 488 раз число 488.