PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.
а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды CDKM.
Решение. а) Пусть SO — высота пирамиды SABCDEF. Пусть P — точка пересечения FC и DM. Треугольники ODP и CMP подобны, поскольку прямая OD параллельна MC. Следовательно, OP : PC = OD : MC = 4 : 3. Однако SK : KC = 4 : 3 = OP : PC. Тогда треугольники OSC и PKC подобны, а прямые OS и PK параллельны, следовательно, прямая PK перпендикулярна плоскости ABC. Таким образом, плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания, что и требовалось доказать.
б) С помощью теоремы Пифагора вычислим:
Следовательно,
Далее найдем площадь треугольника MCD:
Вычислим объем пирамиды CDKM:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 7, а боковое ребро SA = 10. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 4, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 7.
а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды CDKM.
Решение. а) Пусть SO — высота пирамиды SABCDEF. Пусть P — точка пересечения FC и DM. Треугольники ODP и CMP подобны, поскольку прямая OD параллельна MC. Следовательно, OP : PC = OD : MC = 7 : 3. Но SK : KC = 7 : 3 = OP : PC. Тогда треугольники OSC и PKC подобны, а прямые OS и PK параллельны. Следовательно, прямая PK перпендикулярна плоскости ABC. Таким образом, плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания, что и требовалось доказать.
б) С помощью теоремы Пифагора вычислим:
Следовательно,
Далее найдем площадь треугольника MCD:
Вычислим объем пирамиды CDKM:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Решение. а) Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Из условия следует, что BK = 6, а BM = 3. Пусть K' — точка пересечения CM и BD. В треугольнике BCM имеем: BM = 3, BC = 4. Следовательно, CM = 5. Отрезок BK' — биссектриса в этом треугольнике, значит,
откуда 
Пусть BK' = x, применим теорему косинусов:
Корень 
является посторонним, поскольку 
то есть меньше высоты треугольника BCM. Теперь заметим, что 
откуда
Тогда треугольники BKK' и BSO подобны. Таким образом, KK' параллельна SO, а значит, плоскость CKM cодержит прямую KK', перпендикулярную ABC. Следовательно, плоскости CKM и ABC перпендикулярны.
б) Прямая KK' перпендикулярна плоскости ABC, поэтому она является высотой пирамиды BCKM с основанием BCM. Площадь треугольника BCM равна 6. Найдем KK':
Тогда объем пирамиды BCKM равен
Ответ: б) 
Примечание: Отрезок BK'может быть найден из более простых соображений. Заметим, что треугольники BK'M и CK'D подобны с коэффициентом подобия 
При этом 
откуда 
Можно по предложению Альберта Власова воспользоваться формулой длины биссектрисы прямоугольного треугольника CBM: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Решение. а) Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Рассмотрим квадрат ABCD. Треугольники MHB и CHD подобны по двум углам. Получаем:
Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Тогда, поскольку пирамида SABCD правильная, центр квадрата ABCD совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBD.
В треугольнике SOB имеем:
Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
б) Пусть h — высота пирамида ВСКМ, проведённая из вершины К. В треугольнике SOB имеем:
Площадь треугольника ВСМ равна
Объём пирамиды ВСКМ равен
Ответ: б) 
Приведем решение пункта а) Ирины Шарго.
Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Пусть точка O — центр основания пирамиды. Тогда для треугольника AOB по теореме Менелая получим:
В треугольнике SOB имеем:
Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 9, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 7 : 3. Ребро 
Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
б) Найдите площадь сечения α.
Решение. а) Пусть SO — высота пирамиды, а KH — перпендикуляр, проведенный из K к плоскости ABC. Очевидно, что основание перпендикуляра H — проекция точки K, лежит на BO — проекции BS. Докажем, что M, H и С лежат на одной прямой. Пусть MC пересекает BO в точке T, и пусть N — середина AB. Запишем теорему Менелая для треугольника BNO и прямой CM:
тогда 
Из последнего соотношения получаем: OT : TB = 7 : 3. Но OH : HB = SK : KB = 7 : 3. Значит, точки H и T совпадают. Следовательно, CM пересекает BO в точке H. Плоскость KMC содержит KH, которая перпендикулярна ABC. Таким образом, плоскости KMC и ABC перпендикулярны. Поэтому плоскость α проходит через точку C.
б) Заметим, что
Вычислим CM при помощи теоремы косинусов:
Поэтому площадь треугольника CKM равна
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 6, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 5. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 4 : 3. Ребро 
Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
б) Найдите площадь сечения α.
Решение. а) Пусть точка N — середина ребра АС, прямая BN пересекает плоскость α в точке H, a SO — высота пирамиды SABC. Поскольку пирамида SABC правильная, точка пересечения медиан треугольника АВС совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBN. Следовательно, плоскость SBN перпендикулярна плоскости АВС.
Получаем, что прямая КН, являющаяся прямой пересечения плоскостей
Рассмотрим треугольник АВС. Пусть L — такая точка на отрезке AM, что прямые LN и СМ параллельны, а H1, — точка пересечения прямых BN и СМ. Тогда отрезок LN — средняя линия треугольника ACM. Следовательно,
Получаем:
Таким образом, прямая СМ делит отрезок BN в таком же отношении, что и плоскость α, значит, плоскость α содержит точку С.
б) Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение — треугольник СКМ. В треугольнике SOB имеем:
По теореме косинусов в треугольнике BCM имеем:
Отрезок KH перпендикулярен плоскости ABC, а значит, и прямой CM. Следовательно, он является высотой треугольника CKM. Площадь треугольника CKM равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что MK = KD.
б) Найдите объем пирамиды MCDK.
Решение. а) Пусть O — центр основания пирамиды, N — середина ED, а H — точка пересечения прямых CO и DM. Плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды по условию, плоскость SOC перпендикулярна плоскости основания пирамиды по признаку перпендикулярности плоскостей (SO — высота правильной пирамиды) , KH — линия пересечения плоскостей MKD и SOC, тогда KH перпендикулярна плоскости основания и, следовательно, MD. Точка O — середина MN, OС параллельна ED, тогда OH — средняя линия треугольника MND (по признаку), значит, MH = HD, следовательно, KH является медианой и высотой в треугольнике MKD. Таким образом, треугольник MKD равнобедренный и MK = KD.
б) Вычислим:
Следовательно, HC = 6. Имеем:
поэтому 
тогда 
Найдем площадь треугольника MCD:
Тогда объем MCDK:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS.
а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.
б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5.
Решение. а) Пусть SO — высота пирамиды. Проекция отрезка AS на плоскость ABC — это отрезок AO. Проекция отрезка SC на плоскость ABC — это отрезок OC. Следовательно, проекция точки N — это середина отрезка OC, точка P. Точки C, P, O, M лежат на одной прямой, причем CP = PO = OM, следовательно, MP = CO = AO. Таким образом, проекции отрезков MN и SA на плоскость основания пирамиды равны.
б) Обозначим высоту пирамиды за h. Тогда 
По пункту а) имеем:
следовательно,
Тогда 
Таким образом, для искомого объема получаем 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
Решение. а) Построим прямую MN параллельно CB и прямую KP параллельно CB,
Плоскость NMP параллельна BC и содержит NK, таким образом NMP искомая плоскость α. По теореме о пропорциональных отрезках имеем: 
Таким образом, PM параллельна SA, значит, SA параллельна α.
б) Заметим, что NM параллельна DA и SA параллельна PM , тогда 
Таким образом, угол между плоскостью 
и плоскостью SBC равен углу между плоскостями SBC и SDA. Тогда искомый угол 
где F — середина BC, а O — центр основания пирамиды. Таким образом,
а 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро АА1 равно 7. На ребре СС1 отмечена точка М, причем СМ = 1.
а) Точки О и О1 — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А1В1С1 соответственно. Докажите, что прямая ОО1 содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ.
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости АВМ.
Решение. а) Пусть точка K — середина ребра AB, а Q — такая точка на MK, что MQ : QK = 2 : 1. Тогда Q — точка пересечения медиан треугольника ABM, так как делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Очевидно, что проекцией отрезка MK на плоскость ABCбудет отрезок CK, поэтому, так как О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит CK в отношении 2 : 1, точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO1 и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно,
Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка T — середина A1B1. Поскольку прямые A1B1 и AB параллельны, то прямая A1B1 и плоскость ABM также параллельны. Заметим, что расстояние от точки A1 до плоскости ABM равно расстоянию от
Рассмотрим треугольник TKM, в котором TK = AA1 = 7. Вычислим:
Таким образом, треугольник TKM — равнобедренный. Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 в которой AB = 6 и AA1 = 3. Точки O и O1 являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 cответственно. На ребре CC1 отмечена точка M такая, что CM = 1.
а) Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника ABM.
б) Найдите объем пирамиды ABMC1.
Решение. а) Пусть точка K — середина ребра AB, а Q — такая точка на MK, что MQ : QK = 2 : 1. Тогда Q — точка пересечения медиан треугольника ABM, поскольку делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Очевидно, что проекцией отрезка MK на плоскость ABC будет отрезок CK, поэтому, поскольку О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит CK в отношении 2 : 1, точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO1 и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно,
Что и требовалось доказать.
б) Вычислим объем пирамиды ABMC1:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой AB = 1 и AA1 = 3. Точки O и O1 являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 cответственно. На ребре CC1 отмечена точка M такая что CM = 2.
а) Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника треугольника ABM.
б) Найдите объем пирамиды ABMC1.
Решение. а) Пусть точка K — середина ребра AB, а Q — такая точка на MK, что MQ : QK = 2 : 1. Тогда Q — точка пересечения медиан треугольника ABM, поскольку делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Очевидно, что проекцией отрезка MK на плоскость ABC будет отрезок CK, поэтому, так как О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит CK в отношении 2 : 1, точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO1 и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно,
Что и требовалось доказать.
б) Вычислим объем пирамиды ABMC1:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой сторона основания AB = 4, боковое ребро 
Точка Q — точка пересечения диагоналей грани ABB1А1, точки M, N и K — середины ВС, СC1 и А1C1 cответственно.
а) Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.
б) Найдите площадь сечения QMN.
Решение. а) Пусть точка T — середина ребра AB. Отметим сразу, что прямые QT и AB перпендикулярны, причем 
Заметим, что
Таким образом, прямые KN и QM параллельны, а значит, они лежат в одной плоскости.
б) Построим сечение QMN. Продлим KN до пересечения с продолжением AC в точке P, тогда треугольники KC1N и PCN равны по катету и острому углу, откуда
Теперь продлим отрезок PM до пересечения с AB в точке S. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой SMP получим:
откуда AS : SB = 3. Далее, продлим SQ до пересечения с A1B1 в точке L. Эта точка симметрична S относительно Q, поэтому A1L : LB = 1 : 3. Пятиугольник LKNMS — искомое сечение. Найдем его площадь.
Продлим SL и PK до пересечения в точке Z, лежащей на AA1. Тогда SLKNMS = SSZP − SMNP − SLZK. Заметим, что 
откуда следует, что SP : MP = 3 : 2, то есть 
Рассмотрим треугольники LA1K и SBM — они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому 
Кроме того, LK и SP параллельны как прямые, по которым плоскость пересекает параллельные основания призмы. Тогда треугольники ZKL и ZPS подобны с коэффициентом 3. Таким образом, 
потому ZK = KN. Аналогично ZL = LQ = QS и треугольники ZPS и QMS подобны по трем сторонам с коэффициентом 3 — в пункте a) уже было доказано, что QM = KN.
Имеем:
Найдем площадь треугольника QMS. Вычислим для этого треугольника стороны:
Отсюда видно, что 
поэтому треугольник MSQ прямоугольный. Найдем его площадь:
Таким образом,
Ответ: б) 
Примечание.
Треугольник MSQ всегда прямоугольный, поскольку прямые SM и TB параллельны, а прямая TB и плоскость A1B1BA перпендикулярны. Поэтому прямые TB и QS перпендикулярны, и прямые SM и QS тоже перпендикулярны.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Объем куба ABCDA1B1C1D1 с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка E такая, что 
и 
а) Докажите, что плоскость ABB1 проходит через точку E.
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости EBC, если объем EA1B1C1 в 2 раза меньше объема EBCC1.
Решение. а) Введем систему координат следующим образом: A — начало координат, AD совпадает с осью x, AB — совпадает с осью y, а AA1 — совпадает с осью z.
Объем куба — 27, следовательно, его ребро равно 3, а координаты точек B(0,3,0), C(3,3,0).
Пусть координаты точки E(x0, y0, z0), тогда
Вычтем из второго уравнения первое, получим 
откуда 
это значит, что точка E лежит в плоскости ABB1, уравнение которой 
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что плоскость EBC параллельна оси х так как содержит прямую BC. Значит, расстояние от точки D1 до плоскости EBC равно расстоянию до нее от точки A1 и равно длине перпендикуляра опущенного из A1 на прямую EB. Заметим, что 
значит, высота EBCC1 в два раза больше высоты EA1B1C1. Каждая из них лежит в плоскости ABB1 (так как первая высота перпендикулярна BCC1, а вторая — A1B1C1). Тогда координаты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h) или (0, 3 + 2h, 3 + h), где h — высота EA1B1C1.
Пусть E' — проекция точки E на BB1. Из треугольника BEE':
Таким образом, h = 2.
1. Пусть координаты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h): E (0, −1, 5). Составим уравнение прямой BE в плоскости ABB1:
Этому уравнению удовлетворяет B (0, 3, 0), то есть 
Возьмем 
откуда уравнение прямой
Тогда
2. Пусть координаты точки E (0, 3 + 2h, 3 + h): E (0, 7, 5). Составим уравнение прямой BE в плоскости ABB1:
Этому уравнению удовлетворяет B (0, 3, 0), то есть 
Возьмем 
откуда уравнение прямой
Тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра АВ, точка Р — середина ребра ВС. Через точки K, P, D1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая — равнобокая трапеция.
б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью α, если известно, что сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6.
Решение. а) Пусть плоскость KPD1 пересекает AA1 в точке M, а CC1 в точке N. KP параллельна AC, следовательно, KPD1 параллельна AC. MN лежит в плоскости
и 
значит, MN параллельна AC. Таким образом, AMNC — параллелограмм MA = NC, AK = PC, поэтому, MK = NC, MN, AC и KP параллельны между собой, то есть KMNP — равнобедренная трапеция.
Заметим, что A1M1 = C1N, A1D1 = D1C1, таким образом, треугольник 
равнобедренный, 
б) Найдём соотношение в котором MN делит ребра 
и 
Рассмотрим плоскость 
R — точка пересечения плоскости с KP, а Q — с MN, O — центр грани ABCD. Имеем: 
Значит,
Тогда:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода