Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 548425

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Из условия следует, что BK = 6, а BM = 3. Пусть K' — точка пересечения CM и BD. В треугольнике BCM, имеем: BM = 3, BC = 4, следовательно, CM = 5. Отрезок BK' — биссектриса в этом треугольнике, значит,  дробь: числитель: MK', знаменатель: K'C конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , откуда MK'= дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби CM= дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби . Пусть BK' = x, применим теорему косинусов:

 дробь: числитель: 225, знаменатель: 49 конец дроби =9 плюс x в квадрате минус 2 умножить на 3 умножить на x умножить на дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 12 корень из 2, знаменатель: 7 конец дроби ,x= дробь: числитель: 9 корень из 2, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности .

Корень  дробь: числитель: 9 корень из 2, знаменатель: 7 конец дроби является посторонним, так как  дробь: числитель: 9 корень из 2, знаменатель: 7 конец дроби меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби , то есть меньше высоты треугольника BCM. Теперь заметим, что BO=2 корень из 2, откуда

 дробь: числитель: BK, знаменатель: BS конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: BK', знаменатель: BO конец дроби .

Тогда треугольники BKK' и BSO подобны. Таким образом, KK' параллельна SO, а значит, плоскость CKM cодержит прямую KK' перпендикулярную ABC. Следовательно, плоскости CKM и ABC перпендикулярны.

 

б) Так как прямая KK' перпендикулярна плоскости ABC, она является высотой пирамиды BCKM с основанием BCM. Площадь треугольника BCM равна 6. Найдем KK':

KK'= дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби SO= дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби корень из SB в квадрате минус BO в квадрате = дробь: числитель: 6 корень из 41, знаменатель: 7 конец дроби .

Тогда объем пирамиды BCKM равен

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на KK' умножить на S_BCM = дробь: числитель: 12 корень из 41, знаменатель: 7 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 12 корень из 41, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Примечание: Отрезок BK'может быть найден из более простых соображений. Заметим, что треугольники BK'M и CK'D подобны с коэффициентом подобия k= дробь: числитель: BK', знаменатель: K'D конец дроби = дробь: числитель: BM, знаменатель: CD конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно K'D= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби BK'. При этом BK' плюс K'D=BD=4 корень из 2, откуда BK'= дробь: числитель: 12 корень из 2, знаменатель: 7 конец дроби .

Можно по предложению Альберта Власова воспользоваться формулой длины биссектрисы прямоугольного треугольника CBM: BK'= корень из 2 умножить на дробь: числитель: CB умножить на BM, знаменатель: CB плюс BM конец дроби = корень из 2 умножить на дробь: числитель: 4 умножить на 3, знаменатель: 4 плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: 12 корень из 2, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 14 ЕГЭ–2020