В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
а) Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Из условия следует, что BK = 6, а BM = 3. Пусть K' — точка пересечения CM и BD. В треугольнике BCM имеем: BM = 3, BC = 4. Следовательно, CM = 5. Отрезок BK' — биссектриса в этом треугольнике, значит, 
откуда 
Пусть BK' = x, применим теорему косинусов:
Корень 
является посторонним, поскольку 
то есть меньше высоты треугольника BCM. Теперь заметим, что 
откуда
Тогда треугольники BKK' и BSO подобны. Таким образом, KK' параллельна SO, а значит, плоскость CKM cодержит прямую KK', перпендикулярную ABC. Следовательно, плоскости CKM и ABC перпендикулярны.
б) Прямая KK' перпендикулярна плоскости ABC, поэтому она является высотой пирамиды BCKM с основанием BCM. Площадь треугольника BCM равна 6. Найдем KK':
Тогда объем пирамиды BCKM равен
Ответ: б) 
Примечание: Отрезок BK'может быть найден из более простых соображений. Заметим, что треугольники BK'M и CK'D подобны с коэффициентом подобия 
При этом 
откуда 
Можно по предложению Альберта Власова воспользоваться формулой длины биссектрисы прямоугольного треугольника CBM: 