Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 549032

Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 6, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 5. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 4 : 3. Ребро SA=4 корень из 3. Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.

а)  Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.

б)  Найдите площадь сечения α.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть точка N  — середина ребра АС, прямая BN пересекает плоскость α в точке H, a SO  — высота пирамиды SABC. Поскольку пирамида SABC правильная, точка пересечения медиан треугольника АВС совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBN. Следовательно. плоскость SBN перпендикулярна плоскости АВС.

Получаем, что прямая КН, являющаяся прямой пересечения плоскостей SBN и α, перпендикулярна плоскости АВС и параллельна прямой SO. В треугольнике SOB имеем:

BH= дробь: числитель: KB, знаменатель: SB конец дроби умножить на OB = дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BN = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби BN.

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть L  — такая точка на отрезке AM, что прямые LN и СМ параллельны, а H1,  — точка пересечения прямых BN и СМ. Тогда отрезок LN  — средняя линия треугольника ACM, следовательно,

 

AL=LM= дробь: числитель: AM, знаменатель: 2 конец дроби =2,5.

Получаем:

BH_1= дробь: числитель: BM, знаменатель: BL конец дроби умножить на BN = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2,5 конец дроби BN = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби BN.

Таким образом, прямая СМ делит отрезок BN в таком же отношении, что и плоскость α, значит, плоскость а содержит точку С.

б)  Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение  — треугольник СКМ. В треугольнике SOB имеем:

OB= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BN= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: AB корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =2 корень из 3;

SO= корень из SB в квадрате минус OB в квадрате =6;

KH= дробь: числитель: KB, знаменатель: SB конец дроби умножить на SO = дробь: числитель: 18, знаменатель: 7 конец дроби .

По теореме косинусов в треугольнике BCM имеем:

CM= корень из BM в квадрате плюс BC в квадрате минус 2BM умножить на BC умножить на косинус 60 градусов = корень из 31.

Отрезок KH перпендикулярен плоскости ABC, а значит, и прямой CM. Следовательно, он является высотой треугольника CKM. Площадь треугольника CKM равна

 дробь: числитель: CM умножить на KH, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 9 корень из 31, знаменатель: 7 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 9 корень из 31, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: Задания 14 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике. Вариант 313
Методы геометрии: Теорема косинусов