В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
а) Построим прямую MN параллельно CB и прямую KP параллельно CB, 
Плоскость NMP параллельна BC и содержит NK, таким образом NMP искомая плоскость α. По теореме о пропорциональных отрезках имеем: 
Таким образом, PM параллельна SA, значит, SA параллельна α.
б) Заметим, что NM параллельна DA и SA параллельна PM , тогда 
Таким образом, угол между плоскостью 
и плоскостью SBC равен углу между плоскостями SBC и SDA. Тогда искомый угол 
где F — середина BC, а O — центр основания пирамиды. Таким образом,
а 
Ответ: 