Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 548815

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Рассмотрим квадрат ABCD. Треугольники MHB и CHD подобны по двум углам. Получаем:  дробь: числитель: DH, знаменатель: BH конец дроби = дробь: числитель: CD, знаменатель: MB конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , BH= дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби BD.

Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Тогда, поскольку пирамида SABCD правильная, центр квадрата ABCD совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBD.

В треугольнике SOB имеем:

 дробь: числитель: BH, знаменатель: OB конец дроби = дробь: числитель: 2BH, знаменатель: BD конец дроби =2 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: KB, знаменатель: SB конец дроби .

Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.

б) Пусть h — высота пирамида ВСКМ, проведённая из вершины К. В треугольнике SOB имеем:

OB= дробь: числитель: BD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AB корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби =4 корень из 2;

SO= корень из SB в квадрате минус OB в квадрате = корень из 17;

h= дробь: числитель: KB, знаменатель: SB конец дроби умножить на SO = дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби умножить на корень из 17= дробь: числитель: 6 корень из 17, знаменатель: 7 конец дроби .

Площадь треугольника ВСМ равна

S_BCM= дробь: числитель: MB умножить на BC, знаменатель: 2 конец дроби =24.

Объём пирамиды ВСКМ равен

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на h умножить на S_BCM= дробь: числитель: 48 корень из 17, знаменатель: 7 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 48 корень из 17, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Приведем решение пункта а) Ирины Шарго.

Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Пусть точка O — центр основания пирамиды. Тогда для треугольника AOB по теореме Менелая получим:

 дробь: числитель: OH, знаменатель: HB конец дроби умножить на дробь: числитель: BM, знаменатель: MA конец дроби умножить на дробь: числитель: AC, знаменатель: CO конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: OH, знаменатель: HB конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .

В треугольнике SOB имеем:

 дробь: числитель: OH, знаменатель: OB конец дроби = дробь: числитель: SK, знаменатель: SB конец дроби .

Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 2, Задания 14 ЕГЭ–2020