Ре­ше­ние. Спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет ско­рость 27 миль в час, зна­чит, в ки­ло­мет­рах ско­рость ав­то­мо­би­ля со­ста­вит км в час.

Ответ: 43.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шей цена была 25 июля (см. ри­су­нок).

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим два слу­чая.

1.  Сред­няя линия DE па­рал­лель­на сто­ро­не AB.

Тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку DEC с ко­эф­фи­ци­ен­том 2. Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му

2.  Сред­няя линия DE не па­рал­лель­на сто­ро­не AB. Пусть для опре­делёности D  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AC. Тогда DE  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ACE, и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков CDE и AED равны. CE  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков CBE и ACE равны.

Ответ: 96.

Ре­ше­ние. Вы­чис­лим рей­тинг каж­дой мо­де­ли.

Рей­тинг мо­де­ли «А»: R_A = (3 5 + 2 3 + 2 5 + 2 1 + 5) / 50 = 0,76.

Рей­тинг мо­де­ли «Б»: R_Б = (3 1 + 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2) / 50 = 0,5.

Рей­тинг мо­де­ли «В»: R_В = (3 3 + 2 2 + 2 4 + 2 2 + 4) / 50 = 0,58.

Наи­боль­ший рей­тинг, рав­ный 0,76 имеет мо­дель «А».

Ответ: 0,76.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Ответ: −9.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту BH из точки B на сто­ро­ну Тре­уголь­ник BHO  — пря­мо­уголь­ный. Тан­генс угла есть от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию пер­во­об­раз­ной на ин­тер­ва­ле [−5; 2] спра­вед­ли­во ра­вен­ство

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния яв­ля­ют­ся точки экс­тре­му­мов изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции F(x). Это точки −4; −1; 1; 3. Из них на от­рез­ке [−5;2] лежат 3 точки. Таким об­ра­зом, на от­рез­ке [−5;2] урав­не­ние имеет 3 ре­ше­ния.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Се­че­ни­ем, про­хо­дя­щим через вер­ши­ны D, D₁ и B, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сто­рон. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда пло­щадь равна

Ответ: 450.

Ре­ше­ние. Рав­но­ве­ро­ят­ны 4 ис­хо­да экс­пе­ри­мен­та: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел не вы­па­да­ет в слу­чае решка-решка. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что орел не вы­па­дет ни разу равна

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в раза боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­са, он равен мл. Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо до­лить 486 − 144 = 342 мл жид­ко­сти.

Ответ: 342.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­но­го на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре кВ, со­про­тив­ле­ния ре­зи­сто­ра Ом и ёмко­сти кон­ден­са­то­ра Ф:

Ответ: 8,5.

Ре­ше­ние. Пусть масса пер­во­го спла­ва кг, а масса вто­ро­го − кг. Тогда мас­со­вое со­дер­жа­ние меди в пер­вом и вто­ром спла­вах и со­от­вет­ствен­но. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав кг, со­дер­жа­щий 10% меди. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Тогда масса тре­тье­го спла­ва равна: кг

Ответ: 7

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ответ: −7.

Ре­ше­ние. а)  За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, либо от­ку­да либо от­ку­да или

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а)

б)  

Ре­ше­ние. а)  Любое се­че­ние шара плос­ко­стью  — это круг, при­чем ра­ди­ус этого круга не пре­вос­хо­дит ра­ди­у­са са­мо­го шара. Тогда из усло­вия сле­ду­ет, что где R  — ра­ди­ус мень­ше­го шара. Тогда пло­щадь его по­верх­но­сти, рав­ная не мень­ше чем 24. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Рас­смот­рим се­че­ние, про­хо­дя­щее через общий центр шаров и цен­тры кру­гов.

Обо­зна­че­ние цен­тра, точки ка­са­ния и точек пе­ре­се­че­ния по­верх­но­стей шаров с плос­ко­стя­ми α и β дано на ри­сун­ке. От­ре­зок FD  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии мень­ше­го шара плос­ко­стью  α, тогда   — пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара плос­ко­стью α.

От­ре­зок AB  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью  β, тогда   — пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью β.

От­ре­зок CF  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью α. Па­рал­лель­ные пря­мые AB и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой AF. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α:

Ответ: б) 10.

При­ве­дем ре­ше­ние Дмит­рия Су­за­на.

а)  Пусть ра­ди­ус мень­ше­го шара равен r, ра­ди­ус боль­ше­го шара равен R. Пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью, на­хо­дя­щей­ся на рас­сто­я­нии где h от цен­тра шара равна Плос­кость α на­хо­дит­ся от цен­тра шара на рас­сто­я­нии плос­кость β на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии рас­сто­я­ние r. Из усло­вий имеем:

Умно­жим (1) на 4, рас­кро­ем скоб­ки, по­лу­чим: В левой части стоит пло­щадь по­верх­но­сти ма­ло­го шара, в пра­вой части  — число, не мень­шее 24. Утвер­жде­ние а) до­ка­за­но.

б)  Сло­жим (1) и (2), по­лу­чим: В левой части стоит пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы: Пусть тогда

Ре­ше­ние не­ра­вен­ства  — от­ре­зок

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ние не­ра­вен­ства:

Най­дем пе­ре­се­че­ние най­ден­ных ре­ше­ний. По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть   — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са   — центр вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай.

Точка лежит между точ­ка­ми A и (рис. 1), тогда

от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти В тре­уголь­ни­ке имеем

По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не

В тре­уголь­ни­ке по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай.

Точка лежит между точ­ка­ми A и (рис. 2), тогда от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке имеем

Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не

В тре­уголь­ни­ке по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 502137.

Ре­ше­ние. Урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

Эта си­сте­ма имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку если урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий либо про­ме­жут­ку либо про­ме­жут­ку

По­сколь­ку гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, а вер­ши­на на­хо­дит­ся в точке урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку когда зна­че­ние в вер­ши­не от­ри­ца­тель­но, а в точ­ках –1 и 0  — по­ло­жи­тель­но (см. рис. 1), то есть

Урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку когда зна­че­ние в 0 от­ри­ца­тель­но, а в 2  — по­ло­жи­тель­но (см. рис. 2), то есть

Урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при и при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, их сумма равна 14.

б)  Пусть a  — пер­вый член, d  — раз­ность, n  — число чле­нов про­грес­сии, тогда их сумма равна Чтобы ко­ли­че­ство чле­нов было наи­боль­шим, пер­вый член и раз­ность долж­ны быть наи­мень­ши­ми. Пусть они равны 1, тогда по усло­вию Наи­боль­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние этого не­ра­вен­ства n  =  41. Такой ре­зуль­тат по­лу­ча­ет­ся при про­грес­сии

в)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

Таким об­ра­зом, число чле­нов про­грес­сии n яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 246. Если то левая часть боль­ше 246: сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что или Про­грес­сии из трёх и шести чле­нов с сум­мой 123 су­ще­ству­ют: на­при­мер, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

а)  

б)   По­сколь­ку число n не может быть равно или быть боль­ше. Число удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

в)    — не удо­вле­тво­ря­ет.

по­это­му имеем   — много есть таких про­грес­сий. Имеем   — есть такая про­грес­сия.

Ответ: а)  да; б)  41; в)  3, 6.