ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д14 C4 № 510703 Добавить в вариант

Окружности радиусов $3$ и $5$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно касаются в точке $A.$ Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую  — в точке $C.$ Найдите площадь треугольника $BCO_2,$ если $\angle ABO_1=15 градусов.$

Спрятать решение

Решение.

Точки $O_1,O_2,$ и A лежат на одной прямой. Поскольку треугольники $BO_1A$ и $CO_2A$ равнобедренные, $\angle ABO_1=\angle BAO_1=\angle CAO_2=\angle ACO_2=15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ откуда

$AB=2O_1A косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =6 косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,AC=2O_2A косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =10 косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Возможны два случая.

Первый случай. Окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка B лежит между точками A и C, откуда $BC=AC минус AB=4 косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

$S_BCO_2= дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби =10 косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =2,5.$

Второй случай. Окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка A лежит между точками B и C, $BC=AC плюс AB=16 косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

$S_BCO_2= дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби =40 косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =10.$

Ответ: 2,5 или 10.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Источники:

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 101;

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013.

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь