PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 6, BC = 8 и AS = 
Решение. а) Проекция точки S на плоскость основания конуса — точка O, центр его основания. OM
BC по теореме о трех перпендикулярах, поэтому SM BC и угол между SM и ABC равен углу SMO. Этот же угол является углом между прямой OM и плоскостью SBC. Угол между прямой AB и SBC такой же, поскольку прямые OM и AB параллельны.
б) Обозначим искомый угол 
тогда
где h — расстояние от точки A до плоскости SBC. O — середина AC, поэтому расстояние от точки O до плоскости SBC равно 
Это расстояние — 
и 
поэтому
Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Заметим, что
а потому при условии 
неравенство можно записать в виде
Пусть 
тогда
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM = BN = 
Точка P — середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырехугольник BCPM — равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
и 
Решение. а) Поскольку прямая NP параллельна прямой BM и 
четырехугольник BNPM — ромб. Значит, прямая PM параллельна прямой BC, а поскольку CP — медиана прямоугольного треугольника KCN, проведенная из вершины прямого угла, то 
Следовательно, четырехугольник BCPM — равнобедренная трапеция.
б) Поскольку 
треугольник CPM равнобедренный, поэтому 
Значит, CM — биссектриса угла BCP. Тогда
Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 8 млн рублей.
Решение. Обозначим размер кредита за S млн рублей. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает по 
Всего 
за два года.
Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 3-го года долг возрастет до 
Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 3-го и 4-го годов. После выплаты в конце 3-го года долг равен 
в в середине 4-го года он равен 
В конце 4-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна 
и по условию равна x.
Значит,
и общий размер выплат равен
По условию
Наименьшее целое S = 5.
Ответ: 5 млн руб.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно шесть решений.
Решение. При 
второе уравнение системы, а значит, и вся система не имеют решений.
Если a = 0, то получаем систему 
которая имеет единственное решение 
Рассмотрим случай 
Имеем
Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при 
Заметим, что при любых положительных значениях a эти две прямые лежат ниже прямой 
Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы 
(на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому 
При этом условии гипербола 
пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).
Еще два решения должны получаться при пересечении прямых гиперболой 
в двух различных точках в четвертой координатной четверти. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала одну из прямых (на рисунке — красные точки), и не имела общих точек с другой прямой. (Ситуация, при которой каждая из прямых имеет одну общую точку с гиперболой и эти точки различны, невозможна.) Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений
и 
одно имело ровно два различных корня, а другое не имело корней. Дискриминанты этих уравнений должны быть противоположных знаков. Получаем:
Учитывая, что 
приходим к ответу.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек a = 1, и / или a =  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получены два промежутка  и  возможно, с включением граничных точекИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гипербол и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n = 14?
б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n = 19?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n = 24?
Решение. а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет и 3 двухрублёвые монеты (8 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 2 двухрублёвые (6 монет).
б) Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За чашку чая она заплатила либо 1 десятирублёвую монету, либо 2 пятирублёвые, либо 5 двухрублёвых. За сырок Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно одним из трёх указанных выше способов. Значит, за сырок она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. Следовательно, за чай и сырок она заплатила либо 11 монет, либо не более 8 монет.
В первом случае она заплатила за пирожок 8 монет. Они не могли быть все двухрублёвые. Значит, среди них либо была десятирублёвая монета, либо по крайней мере две пятирублёвые монеты. Оставшиеся 10 рублей нельзя набрать 6 или 7 монетами. Пришли к противоречию.
Во втором случае она заплатила за пирожок не менее 11 монет. Это также невозможно, поскольку тогда получилось бы не менее 22 рублей.
Полученные противоречия показывают, что Аня не могла сделать указанные покупки требуемым образом.
в) Пусть Аня купила альбом за 85 рублей, потратив 24 монеты: k двухрублёвых, l пятирублёвых и m десятирублёвых. Тогда
Значит, 
делится на 8. Следовательно, число l нечётно. При l равном 1, 3 и 5 выражение равно 34, 28 и 22 соответственно и не делится на 8.
Пример k = 15, l = 7 и m = 2 показывает, что Аня могла заплатить ровно 7 пятирублёвых монет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 7.
Приведем решение пункта б) Инны Никитиной.
За все покупки Аня заплатила 45 рублей. Если бы среди 19 монет в ее кошельке была хотя бы одна десятирублевая, то сумма денег в ее кошельке была бы не менее, чем 10 + 18 · 2 = 46 рублей, что противоречит условию, что Аня потратила все деньги из кошелька. Следовательно, в кошельке были только двухрублевые и пятирублевые монеты.
Если бы все монеты были двухрублевые, то сумма денег в кошельке была бы равна 19 · 2 = 38 рублей. Замена одной двухрублевой монеты на пятирублевую даст прибавку в 3 рубля, следовательно, при замене нескольких двухрублевых монет на пятирублевые получим дополнительную сумму, кратную 3, а необходимая дополнительная сумма, равная 45 − 38 = 7, не кратна 3. Следовательно, набрать 45 рублей 19 монетами по 2, 5 и 10 рублей невозможно.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 4, BC = 6 и AS = 
Решение. а) Проекция точки S на плоскость основания конуса — центр O его основания. Так как OM BC и SM BC, то угол наклона SM к ABC — это угол SMO. Этот же угол является углом между прямой OM и плоскостью SBC. Угол между прямой AB и SBC такой же, так как прямые OM и AB параллельны.
б) Синусом искомого угла является число
где h — расстояние от точки A до плоскости SBC. Расстояние от точки O до плоскости SBC равно 
так как O — середина CA. Это расстояние — высота OT прямоугольного треугольника SOM, которая равна 
и 
поэтому
Следовательно, синус искомого угла равен 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Воспользовавшись свойством логарифмов преобразуем неравенство:
Пусть 
тогда неравенство примет вид:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
где 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
где где На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM = BN = Точка P — середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырехугольник BCPM — равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
и 
Решение. а) Поскольку прямая NP параллельна прямой BM и четырехугольник BNPM — ромб. Значит, прямая PM параллельна прямой BC, а так как CP — медиана прямоугольного треугольника KCN, проведенная из вершины прямого угла, то Следовательно, четырехугольник BCPM — равнобедренная трапеция.
б) Поскольку треугольник CPM равнобедренный, поэтому Значит, CM — биссектриса угла BCP. Тогда:
Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 9 млн рублей.
Решение. Обозначим размер кредита за S млн рублей. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает по 
Всего 
за два года.
Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 3-го года долг возрастет до 
Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 3-го и 4-го годов. После выплаты в конце 3-го года долг равен 
в в середине 4-го года он равен 
В конце 4-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна 
и по условию равна x.
Значит,
и общий размер выплат равен
По условию,
При S = 5 это неравенство верно, а при S = 4 оно неверно, как и при меньших значениях S.
Ответ: 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно восемь решений.
Решение. При второе уравнение системы, а, значит, и вся система не имеют решений.
Если a = 0, то получаем систему которая имеет единственное решение
Рассмотрим случай Имеем
Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при
Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы (на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому
При этом условии гипербола пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).
Еще четыре решения системы (на рисунке — красные точки) получаются при пересечении каждой из прямых гиперболой в двух различных точках. Для этого нужно, чтобы каждое из двух квадратных уравнений
или
имело два различных корня. Дискриминанты этих уравнений должны быть положительны. Получаем:
Учитывая, что 
приходим к ответу.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек a = 1, и / или a = | 3 |
| В решении верно найдены все граничные точки множества значений a но неверно определены промежутки значений a ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получены два промежутка  и  возможно, с включением граничной точкиИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гипербол и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рублей и ручки за 31 рублей, если n = 16?
б) Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n = 26?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 96 рублей и n = 19?
Решение. а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет, 2 пятирублёвые моменты и 2 двухрублёвые монеты (9 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 3 двухрублёвые (7 монет).
б) Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За сырок она заплатила либо 10 двухрублёвых монет, либо не более 7 монет. За компот Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно пятью двухрублёвыми, двумя пятирублёвыми или одной десятирублёвой монетой. Значит, за компот она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. За булочку Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 20 рублей можно десятью монетами или не более чем 7 монетами. То есть всего за булочку Аня отдала 11 или не более 8 монет. Пусть за сырок Аня заплатила не более 7 монет. Тогда всего она потратила не более, чем 
монеты. Противоречие. Пусть за компот Аня заплатила не более трех монет. Тогда всего она потратила не более, чем 
монеты. Противоречие. Пусть за булочку Аня заплатила не более 8 монет. Тогда всего она потратила не более, чем 
монеты. Значит, возможен только вариант, когда Аня заплатила за сырок 10 монет, за компот 6 монет, за булочку 11 монет. Но в таком случае общее количество монет равно 27, что тоже противоречит условию. Таким образом, ответ отрицательный.
в) Аня потратила четное число пятирублевых монет, потому что иначе сумма, заплаченная двухрублевыми и десятирублевыми монетами была бы нечетна, а это невозможно. Пусть Аня не потратила ни одной пятирублевой монеты, x десятирублевыx и 
двухрублевых. Получим уравнение: 
целых решений оно не имеет. Пусть Аня потратила 2 пятирублевые монеты, x десятирублевыx и 
двухрублевых. Получим уравнение: 
целых решений оно не имеет. Пусть Аня потратила 4 пятирублевые монеты, x десятирублевыx и 
двухрублевых. Получим уравнение: 
целых решений оно не имеет.
Пусть Аня потратила 6 пятирублевых монет, x десятирублевыx и 
двухрублевых. Получим уравнение: 
Значит, Аня могла потратить 6 пятирублевых, 5 десятирублевых и 8 двухрублевых монет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
получаем:
При 
получим: 
откуда 
При 
получим: 
откуда 
При 
получим: 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
получаем:
При получим: 
откуда
При 
получим: 
откуда 
При получим: 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Первый набор чисел состоит из чисел 
Второй набор состоит из чисел 
Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте — число из первого набора, а на втором — число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили.
а) Может ли полученная сумма делиться на 9?
б) Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?
в) Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.
Решение. а) Заметим, что все слагаемые в полученной сумме делятся на 9, кроме того слагаемого, которое содержит тройку из второго набора. Значит, и вся сумма не делится на 9.
б) Может. Пусть, например, перемножили максимальные числа из первого и второго набора, а остальные пары сформировали произвольным образом. Заметим, что 
Таким образом, уже одно из слагаемых полученной суммы больше, чем миллион, значит, и вся сумма тем более больше, чем миллион.
в) Наименьшее значение суммы достигается, если умножить наибольшее число из второго набора на наименьшее из первого, второе по величине число из второго набора умножить на следующее за наименьшим числом из первого и т. д., а полученные произведения сложить. Таким образом, наименьшая возможная сумма равна
Чтобы показать, что найденное значение суммы действительно наименьшее, проведем следующее рассуждение. Рассмотрим в сумме 
слагаемое 
содержащее 
Если степень двойки 
то, в данном и предыдущем слагаемых поменяем степени тройки местами, получим из 
величину 
При этом сумма уменьшится, поскольку разность старого и нового значений положительна:
Будем продолжать, пока множитель 
не перейдёт в первое слагаемое 
Затем поступим так же с множителем 
— он перейдет во второе слагаемое 
и т. д. Указанным образом преобразуем исходную сумму в наименьшую возможную сумму 
Ответ: а) нет; б) да; в) 
Примечание Дмитрия Мухина (Москва).
Подготовленный читатель увидит в задаче перестановочное неравенство, называемое также транснеравенством. Приведем и докажем его.
Теорема. Пусть 
— какая-то перестановка чисел 1, 2, 3, ..., n. Тогда
Доказательство. Применим метод математической индукции. Проверим базу индукции: если 
а 
то
Полученное неравенство верно, поскольку множители имеют разные знаки.
Индукционный переход: предположим, что утверждение верно при 
докажем, что тогда оно верно и при 
Если 
то неравенство сводится к предположению индукции. Если 
то поменяем эти множители местами:
Здесь первое неравенство следует из предположения индукции, а второе — из базы индукции.
Таким образом, по принципу математической индукции, неравенство (1) доказано. Аналогично доказывается неравенство (2).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Второе уравнение системы приведем к виду 
То есть 
Рассмотрим два случая, подставив эти значения в первое уравнение системы.
1) 
Если 
то уравнение не имеет корней.
Если 
имеем квадратное уравнение относительно y. Его дискриминант должен быть положительным.
Таким образом, при 
или 
две пары чисел 
и 
являются решениями исходной системы.
2) 
Если имеем: 
Если имеем квадратное уравнение относительно x. Его дискриминант должен быть положительным.
Таким образом, при 
или 
две пары чисел 
и 
являются решениями исходной системы.
Найдём значение параметра, при котором решения из первого и второго случая совпадают, то есть решением системы является пара чисел 
Пересекая полученные промежутки из первого и второго случаев, исключая случай совпадения решений, получаем итоговый ответ: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а. | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Второе уравнение системы приведем к виду 
То есть 
Рассмотрим два случая, подставив эти значения в первое уравнение системы.
1) 
Если 
то 
Если 
имеем квадратное уравнение относительно y. Его дискриминант должен быть положительным.
Таким образом, при 
или 
две пары чисел 
и 
являются решениями исходной системы.
1) 
Если то уравнение не имеет корней.
Если имеем квадратное уравнение относительно x. Его дискриминант должен быть положительным.
Таким образом, при или 
две пары чисел 
и 
являются решениями исходной системы.
Найдём значение параметра, при котором решения из первого и второго случая совпадают, то есть решением системы является пара чисел 
Значит, пара чисел 
ни при каких значених параметра не является решением исходной системы.
Пересекая полученные промежутки из первого и второго случаев, получаем итоговый ответ: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре решения.
Решение. Подставим значение y из второго уравнения в первое:
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда биквадратное уравнение
Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:
или 
Чтобы корни полученного квадратного уравнения были одного знака, свободный член этого уравнения должен быть положительным:
Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при 
и
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек   и / или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a.ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения. | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получены два промежутка  и  возможно, с включением граничных точек.ИЛИ Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре решения.
Решение. Подставим значение y из второго уравнения в первое:
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда биквадратное уравнение
Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:
или 
Чтобы корни полученного квадратного уравнения были одного знака, свободный член этого уравнения должен быть положительным:
Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения
при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Решение. Запишем уравнение в виде 
и рассмотрим два случая.
Первый случай: 
при выполнении условий
Имеем:
Для первого случая получаем: 
Второй случай: 
при условии 
Имеем:
Корни уравнения 
и 
совпадают при 
Интервал из первого случая полностью включает в себя полуинтервал из второго случая, а решение нам требуется только одно, поэтому исходное уравнение имеет ровно один корень при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только исключением точек  и / или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков  или  возможно, с исключением граничной точки выполнены все решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Решение. Запишем уравнение в виде 
и рассмотрим два случая.
Первый случай: 
при выполнении условий
Имеем:
Для первого случая получаем: 
Второй случай: 
при условии 
Имеем:
Корни уравнения 
и 
совпадают при 
Так как интервал из первого случая полностью включает в себя полуинтервал из второго случая, а решение нам требуется только одно, то исходное уравнение имеет ровно один корень при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только исключением точек и / или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков  или  возможно, с исключением граничной точки выполнены все решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более одного решения.
Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если 
имеем:
Полученное уравнение задает прямую с коэффицентом наклона 
и проходящую через точки 
и 
2) Если 
имеем:
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке 
и радиусом 5.
Полученные прямая и окружность пересекаются в двух точках 
и 
лежащих на окружности 
поэтому в первом случае получаем два луча l1 и l2 с концами в точках A и B соответсвенно, во втором — дугу 
с концами в тех же точках точках (см. рис.). Заметим, что точка 
лежит на дуге и отрезок QC перпендикулярен прямой, полученной в первом случае.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую m, параллельную лучам l1 и l2 или содержащую их.
При 
прямая m содержит лучи l1 и l2, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При 
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуги и не имеет общих точек с лучами l1 и l2, то есть исходная система имеет одно решение.
При 
прямая m пересекает дугу в двух точках и не имеет общих точек с лучами l1 и l2, то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m не имеет общих точек с лучами l1 и l2 и дугой 
то есть исходная система не имеет решений.
Значит, исходная система имеет более одного решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точки  | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуги окружности и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более одного решения.
Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим два случая.
Если имеем:
Полученное уравнение задает прямую с коэффициентом наклона и проходящую через точки 
и 
Если 
имеем:
то есть 
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке 
и радиусом 5.
Эти прямая и окружность пересекаются в двух точках 
и 
лежащих на окружности поэтому в первом случае получаем два луча l1 и l2 с концами в точках A и B соответственно, во втором — дугу с концами в тех же точках точках (см. рис.). Заметим, что точка 
лежит на дуге и отрезок QC перпендикулярен прямой, полученной в первом случае.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую m, параллельную лучам l1 и l2 или содержащую их.
При 
прямая m содержит лучи l1 и l2, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При 
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуги и не имеет общих точек с лучами l1 и l2, то есть исходная система имеет одно решение.
При 
прямая m пересекает дугу в двух точках и не имеет общих точек с лучами l1 и l2, то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m не имеет общих точек с лучами l1 и l2 и дугой то есть исходная система не имеет решений.
Значит, исходная система имеет более одного решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точки  | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуги окружности и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 526830 | б) |
| 2 | 526809 | |
| 3 | 526890 | б) |
| 4 | 526891 | 5 млн руб. |
| 5 | 526892 | |
| 6 | 526893 | а) да; б) нет; в) 7. |
| 7 | 526895 | б) |
| 8 | 526896 | где |
| 9 | 526897 | б) |
| 10 | 526898 | 5. |
| 11 | 526900 | |
| 12 | 526901 | а) да; б) нет; в) 6. |
| 13 | 526902 | |
| 14 | 526903 | |
| 15 | 526904 | а) нет; б) да; в) |
| 16 | 526905 | |
| 17 | 526906 | |
| 18 | 526907 | |
| 19 | 526908 | |
| 20 | 526909 | |
| 21 | 526910 | |
| 22 | 526911 | |
| 23 | 526917 | |