PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 0,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте трёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Омске за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме, сколько месяцев, от начала года до октября включительно, среднемесячная температура превышала −5 градусов Цельсия.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 17 спортсменов из России, в том числе Денис Полянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Денис Полянкин будет играть с каким-либо спортсменом из России.
Решите уравнение 
Площадь треугольника ABC равна 36, DE — средняя линия треугольника, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
На рисунке изображен график функции f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
В прямоугольный параллелепипед вписана сфера с радиусом 4. Найдите объём параллелепипеда.
Найдите значение выражения 
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой 
где 
− температура нагревателя (в градусах Кельвина), 
− температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше 
если температура холодильника 
К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
Два автомобиля отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость автомобиля, пришедшего к финишу вторым.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [6; 8].
а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку 
В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 15 и BC = 9. Точка M — середина ребра AD. На ребре BC выбрана точка E так, что CE = 3, а на ребре AC выбрана точка F так, что CF = 5. Плоскость MEF пересекает ребро BD в точке N. Расстояние от точки M до прямой EF равно 
а) Докажите, что N — середина ребра BD.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNF.
Решите неравенство 
В треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, величина угла AOC составляет 120°.
а) Докажите, что около четырехугольника BDOE можно описать окружность.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
а 
15 января Антон взял в кредит 3 миллиона рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го февраля, апреля и июня долг должен быть на одну девятую часть от исходной суммы долга меньше, чем величина долга 15 числа предыдущего месяца;
— 15-го марта, мая и июля долг должен быть на две девятых части от исходной суммы долга меньше, чем величина долга 15 числа предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 220 тысяч рублей больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на 
Агата добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.
а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/ч?
б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?
в) Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?
0,05 = 1 мг активного вещества. Суточная норма активного вещества для ребенка весом 5 кг составит: 0,4 
Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB, поэтому
при известном значении температуры холодильника 
: 
К.
км/ч — скорость автомобиля, пришедшего к финишу первым, тогда скорость второго автомобиля — 
км/ч, 
Первый автомобиль прибыл к финишу на 1 час раньше второго, отсюда имеем: 
км/ч.
где 
а из второй — две точки: 
и 
б) 
поэтому эти треугольники подобны. Значит, 
откуда 
Тогда 
и плоскость MEF пересекает плоскость ABD по прямой, параллельной прямой EF, а следовательно, параллельной AB. Таким образом, отрезок MN — средняя линия треугольника ABD и точка N — середина ребра BD.
Далее имеем:
при условии 
и 
имеем:
но величины 
и 
составляют половины величин 
и 
а значит, 
Тогда 
и 
равны, и, значит, сумма противоположных углов четырехугольника BDOE равна 180°. Следовательно, около него можно описать окружность.
а значит, 
Углы 
и 
равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около четырехугольника BDOE. Имеем:
по теореме о внешнем угле треугольника;
Таким образом, треугольник ABC прямоугольный и его площадь равна 
Тогда ежемесячные выплаты были равны: 
или 
получаем: 
на отрезке 
принимает каждое свое значение ровно один раз, а 
— только в точке 
поэтому полученная система имеет на этом отрезке единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет ровно одно решение на промежутке 
или при 
(см. рис.).
км/ч.
км/ч,
км/ч.
— целое, поэтому 
кратно 
Но 
кратно 
значит, 20000 кратно 
Поскольку 
то 
где 
При этом поскольку 
то 
(*)
Тогда 
что противоречит (*).
Тогда 
Данное выражение находится в интервале 
только при 
то есть 
Тогда 
Данное выражение не находится в интервале 
Тогда 
Данное выражение находится в интервале 
то есть 
км/ч,
км/ч.