PDF-версии: 
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 1).
Решение.
Выразим параметр a из заданного уравнения x:
Исходное уравнение имеет решения на полуинтервале [−1; 1) тогда и только тогда, когда прямые 
имеют общие точки с графиком функции 
при условиях 
Таким образом, (см. рис.), искомыми значениями параметра являются 
исключая 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Уравнение 
равносильно системе
Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
если уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку 
либо промежутку 
Поскольку графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке 
уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
при условии
откуда 
(рис. 1).
Уравнение
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при условии
откуда 
(рис. 2).
Уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при 
и при 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии 
(рис. 1) 
откуда 
либо при условии 
(рис. 2) 
откуда 
имеет единственный корень.
Рассмотрим две функции: 
и 
Графиком функции 
является полуокружность радиуса 2 с центром в точке 
лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции 
является прямая с угловым коэффициентом 
проходящая через точку 
и 
проведённая из точки M к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
прямая, заданная уравнением 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
имеет единственный корень.
Рассмотрим две функции:
и 
Графиком функции 
является полуокружность радиуса 3 с центром в точке 
лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции 
и 
имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
прямая, заданная уравнением 
имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая MB, заданная уравнением 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Рассмотрим две функции: 
и 
Графиком функции 
является полуокружность радиуса 4 с центром в точке (3;0). лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Ответ
и/или включением точки 
или 
является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если 
то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:
либо 
или a = 5.
которое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.
является корнем исходного уравнения, то и 
то есть 
Подставим значение 
в исходное уравнение:
либо 
или 
исходное уравнение принимает вид: 
Корнями этого уравнения являются числа 
и 
то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
и при 
уравнение принимает вид: 
это уравнение сводится к уравнению 
которое не имеет корней.
получаем уравнение 
которое имеет единственный корень.
получаем уравнение 
которое не имеет корней. 
и при 
исходное уравнение имеет единственный корень.
но в ответ включено не более одного постороннего значения 
и 
угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при 
угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при 
и возрастает при 
поэтому 
получаем: 
то 
поэтому неравенство 
не имеет решений.
то пара чисел 
удовлетворяет неравенству 
Получаем:
тогда 
следовательно, 
Раскроем модули, рассмотрим четыре случая.
Имеем:
Имеем:
и 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a1 и x2:
Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a2 и x2: 
следовательно, 
Точка пересечения прямых имеет координаты 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a3 и x2: 
следовательно, 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a4 и x2: 
следовательно, 
Точка пересечения прямых имеет координаты 
а D соответствует 
Подходящие a: 
и 
угловой коэффициент равен либо −1, либо −7, а при 
угловой коэффициент равен либо 1, либо 7. Значит, функция f(x) убывает при 
и возрастает при 
поэтому 
то 
поэтому неравенство 
то пара чисел 
удовлетворяет неравенству 
имеет на промежутке 
единственный корень.
Исходное уравнение примет вид 
единственный корень при 
откуда 
Подставив 
в неравенство 
получим: 
откуда 
имеет на промежутке 
при 
и не имеет на промежутке 
корней при 
и при 
Исходное уравнение примет вид 
Подставив 
в неравенство 
получим: 
откуда 
при условии 
имеет на промежутке 
и не имеет на промежутке 
на промежутке 
не имеет корней; 
имеет единственный корень 
имеет два различных корня 
имеет единственный корень 
Ответ отличается от верного исключением точки a = 0. 
или 
имеет на промежутке 
единственный корень.
Тогда
единственный корень при 
откуда 
в неравенство 
получим:
имеет на промежутке 
при 
и не имеет на промежутке 
и при 
Тогда из исходного уравнения получаем:
Подставив 
в неравенство 
получим: 
откуда 
при условии 
при 
и не имеет на промежутке 
имеет хотя бы один корень.
возрастает при 
достигает в нуле наименьшего значения, 
Функция g непрерывна, является кусочно-линейной, при 
ее угловой коэффициент равен либо 3, либо 9, при 
угловой коэффициент равен
убывает при 
в нуле достигает наибольшего значения, 
Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции f не превосходит наибольшего значения функции g, то есть тогда и только тогда, когда 
Имеем: 
и 
то условия 
выполнено, но уравнение 
решений не имеет.
Ответ отличается от верного исключением точек 
и/или 
или 
имеет хотя бы один корень.
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (−1; 1].
если уравнение 
либо промежутку 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке 
уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
(рис. 1).
при условии
(рис. 2).
и при 
Ответ отличается от верного только исключением точек 
и/или 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
если уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку 
либо промежутку 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке 
когда значение в вершине отрицательно, а в точках –1 и 0 — положительно (см. рис. 1), то есть 
когда значение в 0 отрицательно, а в 2 — положительно (см. рис. 2), то есть
при 
и при 
