Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы один корень.
Рассмотрим две функции:
и
Функция f непрерывна, убывает при 
возрастает при 
достигает в нуле наименьшего значения, 
Функция g непрерывна, является кусочно-линейной, при 
ее угловой коэффициент равен либо 4, либо 12, при 
угловой коэффициент равен
убывает при 
в нуле достигает наибольшего значения, 
Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции f не превосходит наибольшего значения функции g, то есть тогда и только тогда, когда 
Имеем:
Ответ: 
Примечание.
Исследование поведения на бесконечности существенно. Например, если 
и 
то условия 
выполнено, но уравнение 
решений не имеет.
Здравствуйте, в данном решении, на мой взгляд, не обоснована достаточность условия f(0) <= g(0) для наличия решений у исходного уравнения. Если рассмотреть такой пример: f(x) = -1/||x|+1| и g(x) = 1/||x|+1|, то условия
будет недостаточно для существования решений уравнения f = g (их здесь, очевидно, не будет). Этот пример показывает, что пределы важны.
Согласны, добавили уточнения. Спасибо!