PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Флакон шампуня стоит 170 рублей. Какое наибольшее количество флаконов можно купить на 900 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?
Решение. Цена шампуня со скидкой составит 110,5 рублей, поэтому 900 руб. хватит на 8 флаконов.
На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение. Из графика видно, что наименьшая среднемесячная температура в период с пятого по двенадцатый месяц (с мая по декабрь) была в ноябре и составляла 6 °C (см. рис.).
Ответ: 6.
На клетчатой бумаге с размером клетки
изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение. Площадь фигуры равна трем восьмым площади круга, радиус которого равен 
см. Поэтому
см2.
Ответ: 1,5.
Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 10 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
Решение. На третий день запланировано 
выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна
Ответ: 0,4.
Решите уравнение 
Решение. Заметим, что 
и используем формулу 
Имеем:
Ответ: 2.
В треугольнике ABC угол A равен 14°, внешний угол при вершине B равен 91°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Решение. Внешний угол треугольника равен сумме несмежных с ним углов этого треугольника, поэтому
Ответ: 77.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с?
Решение. Найдем закон изменения скорости:
Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 38 м/с, решим уравнение:
с.
Следовательно, скорость точки была равна 38 м/с на четырнадцатой секунде движения.
Ответ: 14.
Вершина A куба 
с ребром 0,9 является центром сферы, проходящей через точку 
Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину 
Решение. Так как ребро куба равно радиусу сферы, в кубе содержится 1/8 сферы и, соответственно, 1/8 ее поверхности, равная
Ответ: 0,405.
Найдите значение выражения 
Решение. Используем формулу косинуса двойного угла 
:
Ответ: −2.
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон 
Па
м5,
Найдите, какой объём V 
Па.
Решение. Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление равно 
при заданных значениях параметров 
и 
имеем равенство:
Ответ: 0,125.
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Решение. Наименьшее общее кратное чисел 9, 14 и 18 равно 126. За 126 минут первый и второй, второй и третий, первый и третий насосы (каждый учтен дважды) заполнят 14 + 9 + 7 = 30 бассейнов. Следовательно, работая одновременно, первый, второй и третий насосы заполняют 15 бассейнов за 126 минут, а значит, 1 бассейн за 8,4 минуты.
Ответ: 8,4.
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Решение. Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 
заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 1035.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Последовательно получаем:
б) Корни, принадлежащие отрезку 
отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.
а) Докажите, что сечение шара плоскостью есть круг.
б) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
Решение. а) Пусть плоскость α — секущая, точка О — центр шара. Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость α, пусть точка F — основание этого перпендикуляра.
Пусть точка X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости α. По теореме Пифагора имеем 
Отрезок OX не больше радиуса R шара, поэтому 
то есть любая точка сечения шара плоскостью α находится от точки F на расстоянии, не большем 
следовательно, она принадлежит шару. Это значит, что любая точка сечения шара плоскостью α лежит в круге с центром в точке F.
Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару и лежит в плоскости α, а это значит, что сечение шара плоскостью α есть круг с центром в точке F.
б) Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры сечений — кругов. Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями α и β дано на рисунке.
Отрезок FD — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью α, 
—
Отрезок AB — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью β, 
—
Отрезок CF — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α.
Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников OFC и OFD соответственно получаем:
откуда
Площадь сечения большего шара плоскостью α равна
Ответ: б) 12.
Примечание.
Приведенное решение не зависит от того, лежат ли плоскости α и β по одну сторону от центра шаров или по разные.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Данное неравенство можно записать в виде:
Воспользовавшись формулой разности квадратов и преобразуя выражение 
по формулам суммы и разности логарифмов, получаем, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Решим систему (1), произведя её равносильные преобразования:
Из приведённых выкладок легко усмотреть, что, преобразовывая аналогичным образом система (2), равносильна системе
которая не имеет решений. Таким образом, ответ: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Точка O — центр правильного шестиугольника 
со стороной 
Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников 
и 
Решение. Заметим, что
поэтому вершина C — центр окружности, описанной около треугольника 
Аналогично, точки A и E — центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки 
и OE за точки 
и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках 
Тогда 
— диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки 
и 
касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника BOD и внешним образом — описанных окружностей треугольников BOF и 
Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду 
Тогда AM — высота равностороннего треугольника AOF, поэтому 
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
По теореме Пифагора 
или
Ответ: 28, 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует пи одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят
Решение. Пусть банк начисляет r процентов, то есть умножает остаток долга на 
Тогда первые три платежа составляли 
миллионов рублей. Пусть далее четвертый и пятый платежи составляли N миллионов рублей. Тогда 
откуда 
По условию, общие выплаты составят
Тогда 
Ответ: 10.
Приведём другое решение.
График погашения кредита
| Дата | Долг до выплаты,
| Выплата,
| Долг после выплаты,
|
|---|---|---|---|
| 01.07.2016 | 4200 | ||
| 01.01.2017 |  | ||
| 01.02.2017 | 42r | ||
| 01.07.2017 | 4200 | ||
| 01.01.2018 | | ||
| 01.02.2018 | 42r | ||
| 01.07.2018 | 4200 | ||
| 01.01.2019 | | ||
| 01.02.2019 | 42r | ||
| 01.07.2019 | 4200 | ||
| 01.01.2020 | | ||
| 01.02.2020 | x | ||
| 01.07.2020 |  | ||
| 01.01.2021 |  | ||
| 01.02.2022 | x | 0 |
1) 
2) 
откуда
Расчеты будем вести в тыс. руб.
1. Поскольку в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг клиента будет равен сумме взятого кредита, то в течение первых трех из пяти лет клиент будет выплачивать кредитору лишь процентные начисления за первые три года. Общая сумма выплаченных денежных средств составит 
(тыс. руб.) Следовательно, за последние два расчетных года клиент выплатит кредитору 
тыс. руб. А это значит, что суммы выплат 2020 года и аналогичная сумма 2021 года составят по 
(тыс. руб.) каждая.
2. По условию задачи к январю 2020 года долг клиента составит 4200 тыс. руб. В январе 2020 г этот долг возрастет до 
(тыс. руб.).
С февраля по июнь клиент выплатит кредитору сумму тыс. руб. Долг к июлю 2020 г. составит 
(тыс. руб.)
3. К январю 2021 года долг клиента составит 
тыс. руб.
С февраля по июнь клиент выплатит кредитору сумму тыс. руб.
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 10.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим два случая.
Если 
то, раскрывая модуль, находим:
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 1.
Если 
то
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 
Эти окружности пересекаются в двух точках 
и 
лежащих на окружности 
поэтому в первом случае получаем дугу 
с концами в точках A и B, во втором — дугу 
с концами в тех же точках (см. рис.)
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку A и угловой коэффициент который равен a.
При 
прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая m перпендикулярна прямой O2A, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги в точке A и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка A), то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая m пересекает каждую из дуг и в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки B, то есть исходная система имеет три решения.
При 
прямая m не пересекает дуги и в точках, отличных от точки A, то есть исходная система имеет одно решение.
При 
или 
прямая m пересекает дугу в двух точках и не пересекает дугу в точках, отличных от точки A, то есть исходящая система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждений получено множество значений a, отличающихся от искомого только включением точки | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решений | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В стране Дельфиния установлена следующая система подоходного налога (денежная единица Дельфинии ― золотые):
| Заработок (в золотых) | Налог (в %) |
|---|---|
| 1 — 100 | 1 |
| 101 — 400 | 20 |
| Более 400 | 50 |
а) Два брата заработали в сумме 1000 золотых. Как им выгоднее всего распределить эти деньги между собой, чтобы в семье осталось как можно больше денег после налогообложения? При дележе каждый получает целое число золотых.
б) Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый также получит целое число золотых?
Решение. а) 1. Если один из братьев получит 
золотых, то второй получит 
В этом случае первый брат заплатит налог 
а второй ― 
Следовательно, общая сумма, которая останется у братьев после налогообложения 
золотых.
2. Если каждый из них получит более 
золотых, значит, они оба заплатят налог 
и тогда в сумме у них останется 
золотых.
3. Пусть один из них получит x золотых, где 
Тогда его брат получит 
золотых, причем это число будет больше 
Значит, первый брат заплатит налог 
а второй ― Таким образом, после налогообложения у них останется 
золотых. Очевидно, что чем больше x, тем больше данная сумма. Значит, следует выбрать наибольшее возможное значение x, то есть В этом случае в семье останется 
золотых, что больше, чем в первом и во втором случаях.
Ответ: 400 и 600.
б) Заметим, что чем меньше золотых отдадут братья в качестве налога, тем больше денег у них останется. Таким образом, можно решать равносильную задачу: распределить деньги между братьями так, чтобы они в сумме заплатили как можно меньше.
1. Пусть все три брата получили от 101 до 400 золотых. В этом случае каждый из них заплатил налог 20%, а значит, они должны в сумме заплатить 200 золотых.
2. Пусть хотя бы один из братьев получил более 400 золотых. Тогда он должен заплатить налог 50%, то есть более 200 золотых. В этом случае сумма, которую заплатят все три брата, больше 200 золотых. Таким образом, распределение, разобранное в первом случае, выгоднее.
3. Пусть хотя бы один из братьев получил не более 100 золотых. В этом случае остальные 900 золотых нужно распределить между двумя братьями, а значит, хотя бы у одного из них окажется сумма не меньше 450 золотых. Этот случай разобран в п.2.
Следовательно, сумма, которая останется у братьев, будет наибольшей в том случае, если каждый из них получит от 101 до 400 золотых. При этом верным будет любое разбиение 1000 золотых на три слагаемых, каждое из которых лежит в указанном промежутке (в качестве примера можно выбрать числа 366, 366 и 268).
Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма которых равна 1000 (например, 366, 366 и 268).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно выполнены оба пункта: а) и б) | 4 |
| Верно выполнены оба пункта, однако не разобран какой-то один случай (например, случай 3 приведенного выше решения пункта б), либо не приведен хотя бы один точный ответ в пункте б) | 3 |
| Верно выполнен пункт б); либо верно выполнен пункт а), а в пункте б) получен верный ответ без обоснований | 2 |
| Верно выполнен пункт а); либо в обоих пунктах получены верные ответы без обоснований | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
б) Заметим, что чем меньше золотых отдадут братья в качестве налога, тем больше денег у них останется. Таким образом, можно решать равносильную задачу: распределить деньги между братьями так, чтобы они в сумме заплатили как можно меньше.
1. Пусть все три брата получили от 101 до 400 золотых. В этом случае каждый из них заплатил налог 20%, а значит, они должны в сумме заплатить 200 золотых.
2. Пусть хотя бы один из братьев получил более 400 золотых. Тогда он должен заплатить налог 50%, то есть более 200 золотых. В этом случае сумма, которую заплатят все три брата, больше 200 золотых. Таким образом, распределение, разобранное в первом случае, выгоднее.
3. Пусть хотя бы один из братьев получил не более 100 золотых. В этом случае остальные 900 золотых нужно распределить между двумя братьями, а значит, хотя бы у одного из них окажется сумма не меньше 450 золотых. Этот случай разобран в п.2.
Следовательно, сумма, которая останется у братьев, будет наибольшей в том случае, если каждый из них получит от 101 до 400 золотых. При этом верным будет любое разбиение 1000 золотых на три слагаемых, каждое из которых лежит в указанном промежутке (в качестве примера можно выбрать числа 366, 366 и 268).
Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма которых равна 1000 (например, 366, 366 и 268).
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 513701 | 8 |
| 2 | 27510 | 6 |
| 3 | 250931 | 1,5 |
| 4 | 286059 | 0,4 |
| 5 | 77381 | 2 |
| 6 | 502284 | 77 |
| 7 | 124215 | 14 |
| 8 | 25839 | 0,405 |
| 9 | 282765 | -2 |
| 10 | 27990 | 0,125 |
| 11 | 513681 | 8,4 |
| 12 | 124415 | 1035 |
| 13 | 512377 | а) б) |
| 14 | 504945 | б) 12. |
| 15 | 511591 | . |
| 16 | 511339 | 28, 12. |
| 17 | 513923 | 10. |
| 18 | 514386 | |
| 19 | 501220 | : 400 и 600. б) Заметим, что чем меньше золотых отдадут братья в качестве налога, тем больше денег у них останется. Таким образом, можно решать равносильную задачу: распределить деньги между братьями так, чтобы они в сумме заплатили как можно меньше. 1. Пусть все три брата получили от 101 до 400 золотых. В этом случае каждый из них заплатил налог 20%, а значит, они должны в сумме заплатить 200 золотых. 2. Пусть хотя бы один из братьев получил более 400 золотых. Тогда он должен заплатить налог 50%, то есть более 200 золотых. В этом случае сумма, которую заплатят все три брата, больше 200 золотых. Таким образом, распределение, разобранное в первом случае, выгоднее. 3. Пусть хотя бы один из братьев получил не более 100 золотых. В этом случае остальные 900 золотых нужно распределить между двумя братьями, а значит, хотя бы у одного из них окажется сумма не меньше 450 золотых. Этот случай разобран в п.2. Следовательно, сумма, которая останется у братьев, будет наибольшей в том случае, если каждый из них получит от 101 до 400 золотых. При этом верным будет любое разбиение 1000 золотых на три слагаемых, каждое из которых лежит в указанном промежутке (в качестве примера можно выбрать числа 366, 366 и 268). Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма которых равна 1000 (например, 366, 366 и 268). |
