СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 516782

Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD.

а) Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.

Решение.

а) Четырехугольник ABNM вписан в окружность и его стороны AM и BN параллельны, следовательно, ABNM ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда MN = AB, но CD = AB, значит, и четырехугольник CDMN ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) Положим AD = x. Так как DK ― касательная к данной окружности, а DA ― секущая, то Рассуждая аналогично, находим Тогда а значит,

Пусть BH ― высота равнобедренной трапеции ABNM. Тогда:

откуда

Тогда и, таким образом,

 

Ответ:

Замечание. Учащиеся, знающие теорему Птолемея для вписанного четырехугольника, могли привести более короткое решение, сразу написав


Аналоги к заданию № 516763: 516782 Все

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2., Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2. (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники