PDF-версии: 
Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что 
а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если 
Решение. Точка O — центр описанной окружности около треугольника ABC, поэтому
Значит,
Найдём угол BIC:
Значит, 
поэтому точки B, O, I и C лежат на одной окружности.
б) Найдём угол BHC:
Значит, 
поэтому точки B, O, I, H и C лежат на одной окружности.
Поскольку 
получаем 
В равнобедренном треугольнике BOC имеем
Прямая BH перпендикулярна AC, поэтому 
Значит, 
Биссектриса угла треугольника лежит внутри угла, образованного медианой и высотой, исходящими из той же вершины, поэтому лучи BH, BI и BO пересекают дугу окружности в указанном на рисунке порядке. Четырёхугольник BOIH вписан в окружность, поэтому
Ответ: б) 175°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Тогда 
поскольку они опираются на одну дугу KC в окружности, описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Кроме того, 
поскольку они опираются на одну дугу KH в окружности, описанной вокруг четырёхугольника MKHE. 
поэтому прямые EH и АС параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении EH и AC секущей OA. Это и требовалось доказать.
Треугольники OEH и OMK также подобны с тем же коэффициентом подобия. Кроме того, подобны треугольники OMK и AOC, поэтому подобны треугольники OEH и OAC, причем коэффициент подобия равен 
Тогда 
а 
значит, 
А это соответственные углы при прямых ЕН и АС и секущей AE. Из равенства этих углов следует параллельность прямых ЕН и АС, что и требовалось доказать.
(свойство вписанных углов), 
(вертикальные). Коэффициент подобия равен 
и 
оно равно 
откуда 
Аналогично прямая KB параллельна прямой EM, а потому 
Следовательно, прямоугольные треугольники CKH и EMA подобны по двум углам, а значит, 
Итак, в треугольнике AOC прямые AC и EH делят общий угол AOC, начиная от вершины, на пропорциональные отрезки. Следовательно, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, эти прямые параллельны, что и требовалось доказать.
если известно, что отрезок ВМ в 
Тогда в силу неравенства треугольника имеем: 
что и требовалось доказать.
откуда
когда угол ВСА стремится к нулю, а угол BOM приближается к 120°. Число 2,5 необходимо увеличить.
откуда 
Из подобия треугольников CKD и CDE получаем, что 
В треугольнике CKD имеем:
Коэффициент подобия треугольников BLC и AML равен
и площади треугольников AML и BLC относятся как 
и 
Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда 
(рис. 2).
и 
и 
Тогда 
следовательно, 
и 
В равнобедренном треугольнике MPQ имеем: 
Тогда для площади треугольника MPQ получаем:
точки M, A и B лежат на одной прямой, значит, отрезок CM — высота треугольника ABC (см. рис.).
как хорды стягивающие равные дуги. Таким образом, 
как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей, 
как углы равнобедренного треугольника BMD. Значит, 
Далее имеем: 
Поэтому все три части угла равны (и равны 30°).
откуда 
Далее 
Поэтому