СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 513627

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если

Решение.

Точка O — центр описанной окружности около треугольника ABC, поэтому Значит,

откуда

Найдём угол BIC:

 

Значит, поэтому точки B, O, I и C лежат на одной окружности.

б) Найдём угол BHC:

Значит, поэтому точки B, O, I, H и C лежат на одной окружности.

Поскольку получаем В равнобедренном треугольнике BOC имеем

Прямая BH перпендикулярна AC, поэтому

Значит, Биссектриса угла треугольника лежит внутри угла, образованного медианой и высотой, исходящими из той же вершины, поэтому лучи BH, BI и BO пересекают дугу окружности в указанном на рисунке порядке. Четырёхугольник BOIH вписан в окружность, поэтому

 

Ответ: б) 175°.


Аналоги к заданию № 513430: 513627 513449 514189 Все

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 2 (только часть С)
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Окружность, описанная вокруг четырехугольника
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Михаил Серяков 03.06.2016 23:00

Нельзя ли вместо того, чтобы выражать угол BIC из треугольника BIC сказать, что он равен углу BOC, т.к. они опираются на одну и ту же дугу?

Константин Лавров

Вообще-то, мы именно это и доказываем. Мы изначально ничего не знаем про точку I, поэтому нет никакого вписанного угла BIC.

Анна Березовская 03.02.2017 14:11

Если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны, а разве есть обратная теорема о том, что если углы равны, и опираются на одну общую сторону, то они являются вписанными в окружность?

Константин Лавров

Нет. Есть теорема о том, что если имеется два равных угла и один из них вписан в окружность, то и второй вписан ту же окружность.