Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 513922
i

Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­го­на­ли АС и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АD в точке M, рав­но­уда­лен­ной от вер­шин В и D. 

а)  До­ка­жи­те, что BM и ВD делят угол В на три рав­ных угла.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка ABCD до пря­мой СМ, если BC=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что \angle ADB=\angle DBC как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей, \angle MBD=\angle MDB как углы рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BMD. Зна­чит, \angle MBD=\angle DBC. Далее имеем: \angle MBA=90 гра­ду­сов минус \angle CAB=\angle DAC=\angle DBC. По­это­му все три части угла равны (и равны 30°).

б)  Ясно, что рас­сто­я­ние от A до CM ровно вдвое боль­ше, по­сколь­ку O (точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей)  — се­ре­ди­на AC. Зна­чит,

d левая круг­лая скоб­ка O,MC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка A,MC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2S_AMC, зна­ме­на­тель: MC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AM умно­жить на DC, зна­ме­на­тель: 2MC конец дроби .

За­ме­тим, что дробь: чис­ли­тель: DC, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = тан­генс 30 гра­ду­сов, от­ку­да DC=AB=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . Далее AM=AB умно­жить на тан­генс 30 гра­ду­сов=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , MD=AD минус AM=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та . По­это­му

дробь: чис­ли­тель: AM умно­жить на DC, зна­ме­на­тель: 2MC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MD в квад­ра­те плюс DC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 42 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 умно­жить на 21 плюс 36 умно­жить на 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 42 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =3.

Ответ: 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 513922: 513915 Все

Источники:
Методы геометрии: Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025