Каталог заданий.
Уравнения с параметром, содержащие радикалы
Уравнения с параметром, содержащие радикалы
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение.
где 
поскольку 
Найдем множество значений функции 
на отрезке [0; 2]. 
на промежутке [0; 2), поэтому функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок 
то есть отрезок 
Таким образом, уравнение 
имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия 
где 
и рассмотрим функцию 
Ее производная 
и 
Таким образом, приходим к системе 
на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой 
неверные из-за неверной оценки введенной переменной 
Источники:
Пробный ЕГЭ по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1;
2
Рассмотрим две функции: 
и 
Графиком функции 
лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении a графиком функции 
является прямая с угловым коэффициентом 
проходящая через точку 
и 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет угловой коэффициент не больше, чем у прямой MA, и пересекает полуокружность в двух точках. При 
прямая, заданная уравнением 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Ответ
и/или включением точки 
или 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет более двух корней.
рассмотрим функцию 
Раскрывая модуль, получаем:
функция 
убывает, принимая все значения из промежутка 
Чтобы изучить поведение функции при положительных значениях переменной, найдем производную:
меняя знак с плюса на минус. Следовательно, эта точка является точкой максимума, причем 
Построим эскиз графика функции (см. рис.). Из графика заключаем, что уравнение имеет три корня при 
и 
имеют более двух общих точек на луче 
При a < 1 уравнение не имеет решений. При a = 1 уравнение имеет единственный корень x = 0. При 
уравнение имеет два решения. Пусть m — значение a, которому соответствует точка касания графика функции 
и графика функции 
Тогда при 
уравнение имеет три решения, при 
уравнение имеет два решения, при 
уравнение имеет единственное решение. Найдем m из условия касания:
и 
Исследуем уравнение 
функция 
имеет не более одного решения на промежутке 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
то есть при 
уравнение 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
— уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
— уравнение имеет два корня.
а больший корень 
не превосходит 
если 
то есть при 
поэтому знаки корней 
и 
зависят от знаков выражений 
и 
Значит, при 
оба корня отрицательны, при 
один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при 
оба корня неотрицательны. Следовательно, при 
не имеет корней при 
и 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при 
и 
и 
4
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных решения.
и уравнение 
имеет два различных отличных от нуля решения, удовлетворяющих условию 
и произведение равно 
значит, его корни a и 
причём 
Найденные корни удовлетворяют условию (*), если
a — любое число;
Источники:
ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть);
имеет единственный корень.
поэтому получаем: если a = 0, то t > 0; если 
то 
Поскольку при a = 0 решением являются все положительные значения t, уравнение имеет единственное решение, если 
Пройти тестирование по этим заданиям