ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 514531 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс 3x минус a$

имеет ровно три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Исходное уравнение равносильно уравнению $x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус a правая круглая скобка в квадрате$ при условии $x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0.$

Решим уравнение $x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус a правая круглая скобка в квадрате :$

$x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате =x в степени 4 плюс 6x в кубе плюс левая круглая скобка 9 минус 2a правая круглая скобка x в квадрате минус 6ax плюс a в квадрате равносильно$

$равносильно 3x в кубе плюс левая круглая скобка 9 минус a правая круглая скобка x в квадрате минус 3ax=0 равносильно x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка =0,$

откуда $x=0,$ $x= минус 3$ или $x= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби .$

Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны и для каждого из них выполнено условие $x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0.$

Рассмотрим условия совпадения корней. При $a=0$ и $a= минус 9$ уравнение имеет не более двух различных корней. При остальных значениях a числа $0, минус 3, дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби$ различны.

При $x=0$ получаем:

$x в квадрате плюс 3x минус a= минус a.$

Это выражение неотрицательно при $a\leqslant0.$

При $x= минус 3$ получаем:

$x в квадрате плюс 3x минус a= минус a.$

Это выражение неотрицательно при $a\leqslant0.$

При $x= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби$ получаем: $x в квадрате плюс 3x минус a= дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби \geqslant0$ при всех значениях a.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при $a меньше минус 9; минус 9 меньше a меньше 0.$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 9 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 9;0 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого включением только одной точки a = 0 или a = −9	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая квадратная скобка$ множества значений a	2
Получены корни уравнения $x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус a правая круглая скобка в квадрате :$ $x=0,$ $x= минус 3,$ $x= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби ;$ и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии $x в квадрате плюс 3x минус a больше 0$ $левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус a\ge0 правая круглая скобка$ ИЛИ получен неверный ответиз-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 514451: 514531 514538 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 412. Запад (часть 2)

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь