ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 514478 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Юг (часть 2)

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Перебор случаев, Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие радикалы

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус a= корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка x конец аргумента минус 3a правая круглая скобка$ имеет единственный корень.

Решение.

Пусть $2 в степени x =t,$ $E левая круглая скобка t правая круглая скобка = левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Имеем:

$корень из: начало аргумента: t в квадрате минус 3a конец аргумента =t минус a равносильно система выражений t больше или равно a,t в квадрате минус 3a=t в квадрате минус 2at плюс a в квадрате конец системы . равносильно система выражений t больше или равно a, совокупность выражений a=0,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений a=0,t больше или равно 0, конец системы . система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка больше или равно a,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a=0,t больше или равно 0, конец системы . система выражений a меньше или равно 3,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка . конец системы . конец совокупности .$

$t больше 0,$ поэтому получаем: если a  =  0, то t > 0; если $минус 3 меньше a меньше или равно 3,$ то $t= дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ Поскольку при a  =  0 решением являются все положительные значения t, уравнение имеет единственное решение, если $a принадлежит левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;3 правая квадратная скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки.	3
Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 514478: 514739 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Юг (часть 2)

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 18 № 514739 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев, Введение замены

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие радикалы

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$2 в степени x минус a= корень из: начало аргумента: 4 в степени x минус a конец аргумента$

имеет единственный корень.

Решение.

Сделаем замену $t=2 в степени x .$ Тогда, в силу того, что функция $t=2 в степени x$ монотонна, исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение $t минус a= корень из: начало аргумента: t в квадрате минус a конец аргумента$ имеет единственный положительный корень.

При $t меньше a$ левая часть полученного уравнения отрицательная, а правая неотрицательная, поэтому полученное уравнение не имеет корней, меньших a.

При $t больше или равно a$ получаем:

$t в квадрате минус 2at плюс a в квадрате =t в квадрате минус a равносильно 2at = a в квадрате плюс a.$

При $a=0$ любое положительное значение t является корнем уравнения.

При $a не равно 0$ получаем единственный корень: $t= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Для этого корня должны выполняться условия $t больше или равно a$ и $t больше 0.$

Условие $дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно a$ выполняется при $a меньше или равно 1.$

Условие $дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0$ выполняется при $a больше минус 1.$

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень при

$минус 1 меньше a меньше 0;$ $0 меньше a меньше или равно 1.$

Ответ: $минус 1 меньше a меньше 0;$ $0 меньше a меньше или равно 1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающихся от искомого только включением/исключением точек $a= минус 1$ и/или $a=1$	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток $левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка$ множества значений a, возможно, с включением граничных точек	2
Задача верно сведена к исследованию линейного уравнения с параметром относительно новой переменной ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $минус 1 меньше a меньше 0;$ $0 меньше a меньше или равно 1.$

Аналоги к заданию № 514478: 514739 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе